Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14704 / 22383
↖ ↑ ↗
← S 54.870285°
W 18.457032°		 ← 702.97 m → S 54.870285°
W 18.446045°		 →
↑
702.91 m
↓
↑
702.91 m
↓
S 54.876607°
W 18.457032°		 ← 702.86 m →
494 086 m²		 S 54.876607°
W 18.446045°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14704 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22383 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.448745727539062 y=0.683090209960938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.448745727539062 × 215)
    floor (0.448745727539062 × 32768)
    floor (14704.5)     		tx = 14704
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.683090209960938 × 215)
    floor (0.683090209960938 × 32768)
    floor (22383.5)     		ty = 22383
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14704 / 22383 ti = "15/14704/22383"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14704/22383.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14704 ÷ 215
    14704 ÷ 32768     		x = 0.44873046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22383 ÷ 215
    22383 ÷ 32768     		y = 0.683074951171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44873046875 × 2 - 1) × π
    -0.1025390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.32213597
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.683074951171875 × 2 - 1) × π
    -0.36614990234375 × 3.1415926535     		Φ = -1.15029384328287
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32213597} λ = -0.32213597}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.15029384328287))-π/2
    2×atan(0.316543741459746)-π/2
    2×0.306564593473948-π/2
    0.613129186947897-1.57079632675     		φ = -0.95766714
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32213597} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.457032°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.95766714 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.870285°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14704 KachelY 22383 -0.32213597 -0.95766714 -18.457032 -54.870285
    Oben rechts KachelX + 1 14705 KachelY 22383 -0.32194422 -0.95766714 -18.446045 -54.870285
    Unten links KachelX 14704 KachelY + 1 22384 -0.32213597 -0.95777747 -18.457032 -54.876607
    Unten rechts KachelX + 1 14705 KachelY + 1 22384 -0.32194422 -0.95777747 -18.446045 -54.876607
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.95766714--0.95777747) × R
    0.000110330000000047 × 6371000     		dl = 702.912430000302m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.95766714--0.95777747) × R
    0.000110330000000047 × 6371000     		dr = 702.912430000302m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32213597--0.32194422) × cos(-0.95766714) × R
    0.000191749999999991 × 0.575429482966291 × 6371000     		do = 702.967241998793m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32213597--0.32194422) × cos(-0.95777747) × R
    0.000191749999999991 × 0.575339245919403 × 6371000     		du = 702.857004880511m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.95766714)-sin(-0.95777747))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.575429482966291-0.575339245919403)×R²
    abs(-0.32194422--0.32213597)×9.02370468882641e-05×R²
    0.000191749999999991×9.02370468882641e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.02370468882641e-05×40589641000000     		ar = 494085.669265418m²