Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14703 / 22444
↖ ↑ ↗
← S 55.254077°
W 18.468017°		 ← 696.22 m → S 55.254077°
W 18.457032°		 →
↑
696.22 m
↓
↑
696.22 m
↓
S 55.260338°
W 18.468017°		 ← 696.11 m →
484 688 m²		 S 55.260338°
W 18.457032°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14703 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22444 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.448715209960938 y=0.684951782226562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.448715209960938 × 215)
    floor (0.448715209960938 × 32768)
    floor (14703.5)     		tx = 14703
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.684951782226562 × 215)
    floor (0.684951782226562 × 32768)
    floor (22444.5)     		ty = 22444
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14703 / 22444 ti = "15/14703/22444"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14703/22444.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14703 ÷ 215
    14703 ÷ 32768     		x = 0.448699951171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22444 ÷ 215
    22444 ÷ 32768     		y = 0.6849365234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.448699951171875 × 2 - 1) × π
    -0.10260009765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.32232771
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6849365234375 × 2 - 1) × π
    -0.369873046875 × 3.1415926535     		Φ = -1.16199044679016
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32232771} λ = -0.32232771}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.16199044679016))-π/2
    2×atan(0.31286282390536)-π/2
    2×0.303215378421357-π/2
    0.606430756842715-1.57079632675     		φ = -0.96436557
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32232771} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.468017°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.96436557 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.254077°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14703 KachelY 22444 -0.32232771 -0.96436557 -18.468017 -55.254077
    Oben rechts KachelX + 1 14704 KachelY 22444 -0.32213597 -0.96436557 -18.457032 -55.254077
    Unten links KachelX 14703 KachelY + 1 22445 -0.32232771 -0.96447485 -18.468017 -55.260338
    Unten rechts KachelX + 1 14704 KachelY + 1 22445 -0.32213597 -0.96447485 -18.457032 -55.260338
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.96436557--0.96447485) × R
    0.000109279999999989 × 6371000     		dl = 696.222879999932m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.96436557--0.96447485) × R
    0.000109279999999989 × 6371000     		dr = 696.222879999932m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32232771--0.32213597) × cos(-0.96436557) × R
    0.000191739999999996 × 0.569938294176034 × 6371000     		do = 696.222679474753m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32232771--0.32213597) × cos(-0.96447485) × R
    0.000191739999999996 × 0.569848496763531 × 6371000     		du = 696.112985152084m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.96436557)-sin(-0.96447485))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.569938294176034-0.569848496763531)×R²
    abs(-0.32213597--0.32232771)×8.97974125028123e-05×R²
    0.000191739999999996×8.97974125028123e-05×6371000²
    0.000191739999999996×8.97974125028123e-05×40589641000000     		ar = 484687.973658669m²