Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14701 / 22077
↖ ↑ ↗
← S 52.889020°
W 18.489990°		 ← 737.09 m → S 52.889020°
W 18.479004°		 →
↑
737.06 m
↓
↑
737.06 m
↓
S 52.895649°
W 18.489990°		 ← 736.98 m →
543 238 m²		 S 52.895649°
W 18.479004°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14701 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22077 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.448654174804688 y=0.673751831054688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.448654174804688 × 215)
    floor (0.448654174804688 × 32768)
    floor (14701.5)     		tx = 14701
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.673751831054688 × 215)
    floor (0.673751831054688 × 32768)
    floor (22077.5)     		ty = 22077
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14701 / 22077 ti = "15/14701/22077"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14701/22077.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14701 ÷ 215
    14701 ÷ 32768     		x = 0.448638916015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22077 ÷ 215
    22077 ÷ 32768     		y = 0.673736572265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.448638916015625 × 2 - 1) × π
    -0.10272216796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.32271121
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.673736572265625 × 2 - 1) × π
    -0.34747314453125 × 3.1415926535     		Φ = -1.09161907814792
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32271121} λ = -0.32271121}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.09161907814792))-π/2
    2×atan(0.335672573372387)-π/2
    2×0.323854390912073-π/2
    0.647708781824145-1.57079632675     		φ = -0.92308754
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32271121} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.489990°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.92308754 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -52.889020°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14701 KachelY 22077 -0.32271121 -0.92308754 -18.489990 -52.889020
    Oben rechts KachelX + 1 14702 KachelY 22077 -0.32251946 -0.92308754 -18.479004 -52.889020
    Unten links KachelX 14701 KachelY + 1 22078 -0.32271121 -0.92320323 -18.489990 -52.895649
    Unten rechts KachelX + 1 14702 KachelY + 1 22078 -0.32251946 -0.92320323 -18.479004 -52.895649
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.92308754--0.92320323) × R
    0.000115690000000002 × 6371000     		dl = 737.06099000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.92308754--0.92320323) × R
    0.000115690000000002 × 6371000     		dr = 737.06099000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32271121--0.32251946) × cos(-0.92308754) × R
    0.000191750000000046 × 0.60336082111021 × 6371000     		do = 737.089260980638m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32271121--0.32251946) × cos(-0.92320323) × R
    0.000191750000000046 × 0.603268557962866 × 6371000     		du = 736.976548698514m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.92308754)-sin(-0.92320323))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.60336082111021-0.603268557962866)×R²
    abs(-0.32251946--0.32271121)×9.22631473442292e-05×R²
    0.000191750000000046×9.22631473442292e-05×6371000²
    0.000191750000000046×9.22631473442292e-05×40589641000000     		ar = 543238.203109835m²