Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14696 / 22431
↖ ↑ ↗
← S 55.172594°
W 18.544922°		 ← 697.69 m → S 55.172594°
W 18.533936°		 →
↑
697.62 m
↓
↑
697.62 m
↓
S 55.178868°
W 18.544922°		 ← 697.58 m →
486 684 m²		 S 55.178868°
W 18.533936°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14696 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22431 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.448501586914062 y=0.684555053710938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.448501586914062 × 215)
    floor (0.448501586914062 × 32768)
    floor (14696.5)     		tx = 14696
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.684555053710938 × 215)
    floor (0.684555053710938 × 32768)
    floor (22431.5)     		ty = 22431
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14696 / 22431 ti = "15/14696/22431"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14696/22431.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14696 ÷ 215
    14696 ÷ 32768     		x = 0.448486328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22431 ÷ 215
    22431 ÷ 32768     		y = 0.684539794921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.448486328125 × 2 - 1) × π
    -0.10302734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.32366995
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.684539794921875 × 2 - 1) × π
    -0.36907958984375 × 3.1415926535     		Φ = -1.15949772800992
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32366995} λ = -0.32366995}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.15949772800992))-π/2
    2×atan(0.313643675759862)-π/2
    2×0.303926454103574-π/2
    0.607852908207148-1.57079632675     		φ = -0.96294342
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32366995} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.544922°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.96294342 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.172594°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14696 KachelY 22431 -0.32366995 -0.96294342 -18.544922 -55.172594
    Oben rechts KachelX + 1 14697 KachelY 22431 -0.32347820 -0.96294342 -18.533936 -55.172594
    Unten links KachelX 14696 KachelY + 1 22432 -0.32366995 -0.96305292 -18.544922 -55.178868
    Unten rechts KachelX + 1 14697 KachelY + 1 22432 -0.32347820 -0.96305292 -18.533936 -55.178868
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.96294342--0.96305292) × R
    0.000109499999999985 × 6371000     		dl = 697.624499999902m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.96294342--0.96305292) × R
    0.000109499999999985 × 6371000     		dr = 697.624499999902m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32366995--0.32347820) × cos(-0.96294342) × R
    0.000191749999999991 × 0.571106280301318 × 6371000     		do = 697.685847937558m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32366995--0.32347820) × cos(-0.96305292) × R
    0.000191749999999991 × 0.57101639094169 × 6371000     		du = 697.576035567678m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.96294342)-sin(-0.96305292))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.571106280301318-0.57101639094169)×R²
    abs(-0.32347820--0.32366995)×8.98893596285033e-05×R²
    0.000191749999999991×8.98893596285033e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.98893596285033e-05×40589641000000     		ar = 486684.437411146m²