Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14695 / 22365
↖ ↑ ↗
← S 54.756331°
W 18.555908°		 ← 704.92 m → S 54.756331°
W 18.544922°		 →
↑
704.89 m
↓
↑
704.89 m
↓
S 54.762671°
W 18.555908°		 ← 704.81 m →
496 848 m²		 S 54.762671°
W 18.544922°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14695 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22365 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.448471069335938 y=0.682540893554688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.448471069335938 × 215)
    floor (0.448471069335938 × 32768)
    floor (14695.5)     		tx = 14695
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.682540893554688 × 215)
    floor (0.682540893554688 × 32768)
    floor (22365.5)     		ty = 22365
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14695 / 22365 ti = "15/14695/22365"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14695/22365.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14695 ÷ 215
    14695 ÷ 32768     		x = 0.448455810546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22365 ÷ 215
    22365 ÷ 32768     		y = 0.682525634765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.448455810546875 × 2 - 1) × π
    -0.10308837890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.32386169
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.682525634765625 × 2 - 1) × π
    -0.36505126953125 × 3.1415926535     		Φ = -1.14684238651022
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32386169} λ = -0.32386169}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.14684238651022))-π/2
    2×atan(0.317638166093253)-π/2
    2×0.307559030690838-π/2
    0.615118061381675-1.57079632675     		φ = -0.95567827
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32386169} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.555908°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.95567827 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.756331°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14695 KachelY 22365 -0.32386169 -0.95567827 -18.555908 -54.756331
    Oben rechts KachelX + 1 14696 KachelY 22365 -0.32366995 -0.95567827 -18.544922 -54.756331
    Unten links KachelX 14695 KachelY + 1 22366 -0.32386169 -0.95578891 -18.555908 -54.762671
    Unten rechts KachelX + 1 14696 KachelY + 1 22366 -0.32366995 -0.95578891 -18.544922 -54.762671
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.95567827--0.95578891) × R
    0.00011063999999994 × 6371000     		dl = 704.887439999616m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.95567827--0.95578891) × R
    0.00011063999999994 × 6371000     		dr = 704.887439999616m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32386169--0.32366995) × cos(-0.95567827) × R
    0.000191739999999996 × 0.577054943919818 × 6371000     		do = 704.916204728506m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32386169--0.32366995) × cos(-0.95578891) × R
    0.000191739999999996 × 0.576964580110661 × 6371000     		du = 704.805818509538m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.95567827)-sin(-0.95578891))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.577054943919818-0.576964580110661)×R²
    abs(-0.32366995--0.32386169)×9.03638091571679e-05×R²
    0.000191739999999996×9.03638091571679e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.03638091571679e-05×40589641000000     		ar = 496847.67454211m²