Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14691 / 22430
↖ ↑ ↗
← S 55.166319°
W 18.599853°		 ← 697.76 m → S 55.166319°
W 18.588867°		 →
↑
697.75 m
↓
↑
697.75 m
↓
S 55.172594°
W 18.599853°		 ← 697.65 m →
486 825 m²		 S 55.172594°
W 18.588867°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14691 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22430 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.448348999023438 y=0.684524536132812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.448348999023438 × 215)
    floor (0.448348999023438 × 32768)
    floor (14691.5)     		tx = 14691
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.684524536132812 × 215)
    floor (0.684524536132812 × 32768)
    floor (22430.5)     		ty = 22430
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14691 / 22430 ti = "15/14691/22430"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14691/22430.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14691 ÷ 215
    14691 ÷ 32768     		x = 0.448333740234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22430 ÷ 215
    22430 ÷ 32768     		y = 0.68450927734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.448333740234375 × 2 - 1) × π
    -0.10333251953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.32462868
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.68450927734375 × 2 - 1) × π
    -0.3690185546875 × 3.1415926535     		Φ = -1.15930598041144
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32462868} λ = -0.32462868}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.15930598041144))-π/2
    2×atan(0.313703821947727)-π/2
    2×0.303981212541842-π/2
    0.607962425083684-1.57079632675     		φ = -0.96283390
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32462868} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.599853°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.96283390 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.166319°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14691 KachelY 22430 -0.32462868 -0.96283390 -18.599853 -55.166319
    Oben rechts KachelX + 1 14692 KachelY 22430 -0.32443694 -0.96283390 -18.588867 -55.166319
    Unten links KachelX 14691 KachelY + 1 22431 -0.32462868 -0.96294342 -18.599853 -55.172594
    Unten rechts KachelX + 1 14692 KachelY + 1 22431 -0.32443694 -0.96294342 -18.588867 -55.172594
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.96283390--0.96294342) × R
    0.000109519999999974 × 6371000     		dl = 697.751919999835m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.96283390--0.96294342) × R
    0.000109519999999974 × 6371000     		dr = 697.751919999835m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32462868--0.32443694) × cos(-0.96283390) × R
    0.000191739999999996 × 0.571196179229511 × 6371000     		do = 697.759281088212m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32462868--0.32443694) × cos(-0.96294342) × R
    0.000191739999999996 × 0.571106280301318 × 6371000     		du = 697.649462756459m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.96283390)-sin(-0.96294342))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.571196179229511-0.571106280301318)×R²
    abs(-0.32443694--0.32462868)×8.98989281931106e-05×R²
    0.000191739999999996×8.98989281931106e-05×6371000²
    0.000191739999999996×8.98989281931106e-05×40589641000000     		ar = 486824.565587925m²