Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14688 / 22432
↖ ↑ ↗
← S 55.178868°
W 18.632813°		 ← 697.58 m → S 55.178868°
W 18.621826°		 →
↑
697.50 m
↓
↑
697.50 m
↓
S 55.185141°
W 18.632813°		 ← 697.47 m →
486 519 m²		 S 55.185141°
W 18.621826°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14688 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22432 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.448257446289062 y=0.684585571289062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.448257446289062 × 215)
    floor (0.448257446289062 × 32768)
    floor (14688.5)     		tx = 14688
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.684585571289062 × 215)
    floor (0.684585571289062 × 32768)
    floor (22432.5)     		ty = 22432
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14688 / 22432 ti = "15/14688/22432"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14688/22432.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14688 ÷ 215
    14688 ÷ 32768     		x = 0.4482421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22432 ÷ 215
    22432 ÷ 32768     		y = 0.6845703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4482421875 × 2 - 1) × π
    -0.103515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.32520393
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6845703125 × 2 - 1) × π
    -0.369140625 × 3.1415926535     		Φ = -1.1596894756084
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32520393} λ = -0.32520393}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.1596894756084))-π/2
    2×atan(0.313583541103779)-π/2
    2×0.303871704283662-π/2
    0.607743408567323-1.57079632675     		φ = -0.96305292
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32520393} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.632813°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.96305292 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.178868°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14688 KachelY 22432 -0.32520393 -0.96305292 -18.632813 -55.178868
    Oben rechts KachelX + 1 14689 KachelY 22432 -0.32501218 -0.96305292 -18.621826 -55.178868
    Unten links KachelX 14688 KachelY + 1 22433 -0.32520393 -0.96316240 -18.632813 -55.185141
    Unten rechts KachelX + 1 14689 KachelY + 1 22433 -0.32501218 -0.96316240 -18.621826 -55.185141
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.96305292--0.96316240) × R
    0.000109479999999995 × 6371000     		dl = 697.497079999969m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.96305292--0.96316240) × R
    0.000109479999999995 × 6371000     		dr = 697.497079999969m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32520393--0.32501218) × cos(-0.96305292) × R
    0.000191749999999991 × 0.57101639094169 × 6371000     		do = 697.576035567678m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32520393--0.32501218) × cos(-0.96316240) × R
    0.000191749999999991 × 0.570926511155455 × 6371000     		du = 697.466234893033m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.96305292)-sin(-0.96316240))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.57101639094169-0.570926511155455)×R²
    abs(-0.32501218--0.32520393)×8.98797862344258e-05×R²
    0.000191749999999991×8.98797862344258e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.98797862344258e-05×40589641000000     		ar = 486518.955546914m²