Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14686 / 22307
↖ ↑ ↗
← S 54.386955°
W 18.654785°		 ← 711.37 m → S 54.386955°
W 18.643799°		 →
↑
711.32 m
↓
↑
711.32 m
↓
S 54.393352°
W 18.654785°		 ← 711.26 m →
505 974 m²		 S 54.393352°
W 18.643799°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14686 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22307 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.448196411132812 y=0.680770874023438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.448196411132812 × 215)
    floor (0.448196411132812 × 32768)
    floor (14686.5)     		tx = 14686
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.680770874023438 × 215)
    floor (0.680770874023438 × 32768)
    floor (22307.5)     		ty = 22307
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14686 / 22307 ti = "15/14686/22307"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14686/22307.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14686 ÷ 215
    14686 ÷ 32768     		x = 0.44818115234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22307 ÷ 215
    22307 ÷ 32768     		y = 0.680755615234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44818115234375 × 2 - 1) × π
    -0.1036376953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.32558742
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.680755615234375 × 2 - 1) × π
    -0.36151123046875 × 3.1415926535     		Φ = -1.13572102579837
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32558742} λ = -0.32558742}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.13572102579837))-π/2
    2×atan(0.321190451222843)-π/2
    2×0.310782443391687-π/2
    0.621564886783375-1.57079632675     		φ = -0.94923144
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32558742} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.654785°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.94923144 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.386955°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14686 KachelY 22307 -0.32558742 -0.94923144 -18.654785 -54.386955
    Oben rechts KachelX + 1 14687 KachelY 22307 -0.32539567 -0.94923144 -18.643799 -54.386955
    Unten links KachelX 14686 KachelY + 1 22308 -0.32558742 -0.94934309 -18.654785 -54.393352
    Unten rechts KachelX + 1 14687 KachelY + 1 22308 -0.32539567 -0.94934309 -18.643799 -54.393352
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.94923144--0.94934309) × R
    0.000111649999999908 × 6371000     		dl = 711.322149999412m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.94923144--0.94934309) × R
    0.000111649999999908 × 6371000     		dr = 711.322149999412m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32558742--0.32539567) × cos(-0.94923144) × R
    0.000191749999999991 × 0.582308076227123 × 6371000     		do = 711.37040151101m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32558742--0.32539567) × cos(-0.94934309) × R
    0.000191749999999991 × 0.582217304697639 × 6371000     		du = 711.25951144781m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.94923144)-sin(-0.94934309))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.582308076227123-0.582217304697639)×R²
    abs(-0.32539567--0.32558742)×9.07715294837796e-05×R²
    0.000191749999999991×9.07715294837796e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.07715294837796e-05×40589641000000     		ar = 505974.084695701m²