Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 14681 / 22375
↖ ↑ ↗
← S 54.819679°
W 18.709717°		 ← 703.85 m → S 54.819679°
W 18.698730°		 →
↑
703.80 m
↓
↑
703.80 m
↓
S 54.826008°
W 18.709717°		 ← 703.74 m →
495 333 m²		 S 54.826008°
W 18.698730°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14681 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22375 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.448043823242188 y=0.682846069335938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.448043823242188 × 215)
    floor (0.448043823242188 × 32768)
    floor (14681.5)     		tx = 14681
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.682846069335938 × 215)
    floor (0.682846069335938 × 32768)
    floor (22375.5)     		ty = 22375
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14681 / 22375 ti = "15/14681/22375"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14681/22375.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14681 ÷ 215
    14681 ÷ 32768     		x = 0.448028564453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22375 ÷ 215
    22375 ÷ 32768     		y = 0.682830810546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.448028564453125 × 2 - 1) × π
    -0.10394287109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.32654616
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.682830810546875 × 2 - 1) × π
    -0.36566162109375 × 3.1415926535     		Φ = -1.14875986249503
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32654616} λ = -0.32654616}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.14875986249503))-π/2
    2×atan(0.317029686097236)-π/2
    2×0.307006219269436-π/2
    0.614012438538872-1.57079632675     		φ = -0.95678389
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32654616} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.709717°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.95678389 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.819679°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14681 KachelY 22375 -0.32654616 -0.95678389 -18.709717 -54.819679
    Oben rechts KachelX + 1 14682 KachelY 22375 -0.32635441 -0.95678389 -18.698730 -54.819679
    Unten links KachelX 14681 KachelY + 1 22376 -0.32654616 -0.95689436 -18.709717 -54.826008
    Unten rechts KachelX + 1 14682 KachelY + 1 22376 -0.32635441 -0.95689436 -18.698730 -54.826008
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.95678389--0.95689436) × R
    0.000110470000000085 × 6371000     		dl = 703.804370000539m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.95678389--0.95689436) × R
    0.000110470000000085 × 6371000     		dr = 703.804370000539m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32654616--0.32635441) × cos(-0.95678389) × R
    0.000191749999999991 × 0.576151625665101 × 6371000     		do = 703.84943986376m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32654616--0.32635441) × cos(-0.95689436) × R
    0.000191749999999991 × 0.576061330287118 × 6371000     		du = 703.739131485923m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.95678389)-sin(-0.95689436))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.576151625665101-0.576061330287118)×R²
    abs(-0.32635441--0.32654616)×9.02953779828852e-05×R²
    0.000191749999999991×9.02953779828852e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.02953779828852e-05×40589641000000     		ar = 495333.494342807m²