Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 14679 / 22044
↖ ↑ ↗
← S 52.669721°
W 18.731690°		 ← 740.81 m → S 52.669721°
W 18.720703°		 →
↑
740.76 m
↓
↑
740.76 m
↓
S 52.676382°
W 18.731690°		 ← 740.70 m →
548 720 m²		 S 52.676382°
W 18.720703°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14679 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22044 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.447982788085938 y=0.672744750976562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.447982788085938 × 215)
    floor (0.447982788085938 × 32768)
    floor (14679.5)     		tx = 14679
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.672744750976562 × 215)
    floor (0.672744750976562 × 32768)
    floor (22044.5)     		ty = 22044
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14679 / 22044 ti = "15/14679/22044"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14679/22044.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14679 ÷ 215
    14679 ÷ 32768     		x = 0.447967529296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22044 ÷ 215
    22044 ÷ 32768     		y = 0.6727294921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.447967529296875 × 2 - 1) × π
    -0.10406494140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.32692966
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6727294921875 × 2 - 1) × π
    -0.345458984375 × 3.1415926535     		Φ = -1.08529140739807
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32692966} λ = -0.32692966}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.08529140739807))-π/2
    2×atan(0.337803333160106)-π/2
    2×0.325768145006789-π/2
    0.651536290013578-1.57079632675     		φ = -0.91926004
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32692966} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.731690°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.91926004 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -52.669721°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14679 KachelY 22044 -0.32692966 -0.91926004 -18.731690 -52.669721
    Oben rechts KachelX + 1 14680 KachelY 22044 -0.32673791 -0.91926004 -18.720703 -52.669721
    Unten links KachelX 14679 KachelY + 1 22045 -0.32692966 -0.91937631 -18.731690 -52.676382
    Unten rechts KachelX + 1 14680 KachelY + 1 22045 -0.32673791 -0.91937631 -18.720703 -52.676382
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.91926004--0.91937631) × R
    0.000116270000000029 × 6371000     		dl = 740.756170000187m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.91926004--0.91937631) × R
    0.000116270000000029 × 6371000     		dr = 740.756170000187m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32692966--0.32673791) × cos(-0.91926004) × R
    0.000191749999999991 × 0.606408704108881 × 6371000     		do = 740.812674481009m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32692966--0.32673791) × cos(-0.91937631) × R
    0.000191749999999991 × 0.606316247556943 × 6371000     		du = 740.699725928242m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.91926004)-sin(-0.91937631))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.606408704108881-0.606316247556943)×R²
    abs(-0.32673791--0.32692966)×9.24565519381249e-05×R²
    0.000191749999999991×9.24565519381249e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.24565519381249e-05×40589641000000     		ar = 548719.726384962m²