Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14676 / 21884
↖ ↑ ↗
← S 51.590722°
W 18.764649°		 ← 758.97 m → S 51.590722°
W 18.753662°		 →
↑
758.91 m
↓
↑
758.91 m
↓
S 51.597548°
W 18.764649°		 ← 758.86 m →
575 952 m²		 S 51.597548°
W 18.753662°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14676 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21884 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.447891235351562 y=0.667861938476562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.447891235351562 × 215)
    floor (0.447891235351562 × 32768)
    floor (14676.5)     		tx = 14676
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.667861938476562 × 215)
    floor (0.667861938476562 × 32768)
    floor (21884.5)     		ty = 21884
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14676 / 21884 ti = "15/14676/21884"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14676/21884.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14676 ÷ 215
    14676 ÷ 32768     		x = 0.4478759765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21884 ÷ 215
    21884 ÷ 32768     		y = 0.6678466796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4478759765625 × 2 - 1) × π
    -0.104248046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.32750490
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6678466796875 × 2 - 1) × π
    -0.335693359375 × 3.1415926535     		Φ = -1.05461179164124
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32750490} λ = -0.32750490}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.05461179164124))-π/2
    2×atan(0.348327624757629)-π/2
    2×0.335184176603993-π/2
    0.670368353207986-1.57079632675     		φ = -0.90042797
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32750490} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.764649°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.90042797 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -51.590722°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14676 KachelY 21884 -0.32750490 -0.90042797 -18.764649 -51.590722
    Oben rechts KachelX + 1 14677 KachelY 21884 -0.32731315 -0.90042797 -18.753662 -51.590722
    Unten links KachelX 14676 KachelY + 1 21885 -0.32750490 -0.90054709 -18.764649 -51.597548
    Unten rechts KachelX + 1 14677 KachelY + 1 21885 -0.32731315 -0.90054709 -18.753662 -51.597548
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.90042797--0.90054709) × R
    0.000119120000000028 × 6371000     		dl = 758.913520000179m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.90042797--0.90054709) × R
    0.000119120000000028 × 6371000     		dr = 758.913520000179m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32750490--0.32731315) × cos(-0.90042797) × R
    0.000191749999999991 × 0.621274670936867 × 6371000     		do = 758.973523047273m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32750490--0.32731315) × cos(-0.90054709) × R
    0.000191749999999991 × 0.621181324946804 × 6371000     		du = 758.859487921982m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.90042797)-sin(-0.90054709))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.621274670936867-0.621181324946804)×R²
    abs(-0.32731315--0.32750490)×9.3345990062832e-05×R²
    0.000191749999999991×9.3345990062832e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.3345990062832e-05×40589641000000     		ar = 575951.997244831m²