Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 14674 / 22133
↖ ↑ ↗
← S 53.258642°
W 18.786621°		 ← 730.75 m → S 53.258642°
W 18.775635°		 →
↑
730.69 m
↓
↑
730.69 m
↓
S 53.265213°
W 18.786621°		 ← 730.64 m →
533 911 m²		 S 53.265213°
W 18.775635°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14674 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22133 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.447830200195312 y=0.675460815429688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.447830200195312 × 215)
    floor (0.447830200195312 × 32768)
    floor (14674.5)     		tx = 14674
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.675460815429688 × 215)
    floor (0.675460815429688 × 32768)
    floor (22133.5)     		ty = 22133
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14674 / 22133 ti = "15/14674/22133"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14674/22133.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14674 ÷ 215
    14674 ÷ 32768     		x = 0.44781494140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22133 ÷ 215
    22133 ÷ 32768     		y = 0.675445556640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44781494140625 × 2 - 1) × π
    -0.1043701171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.32788839
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.675445556640625 × 2 - 1) × π
    -0.35089111328125 × 3.1415926535     		Φ = -1.10235694366281
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32788839} λ = -0.32788839}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.10235694366281))-π/2
    2×atan(0.332087449160822)-π/2
    2×0.320628839853751-π/2
    0.641257679707502-1.57079632675     		φ = -0.92953865
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32788839} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.786621°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.92953865 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -53.258642°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14674 KachelY 22133 -0.32788839 -0.92953865 -18.786621 -53.258642
    Oben rechts KachelX + 1 14675 KachelY 22133 -0.32769665 -0.92953865 -18.775635 -53.258642
    Unten links KachelX 14674 KachelY + 1 22134 -0.32788839 -0.92965334 -18.786621 -53.265213
    Unten rechts KachelX + 1 14675 KachelY + 1 22134 -0.32769665 -0.92965334 -18.775635 -53.265213
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.92953865--0.92965334) × R
    0.000114689999999973 × 6371000     		dl = 730.689989999827m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.92953865--0.92965334) × R
    0.000114689999999973 × 6371000     		dr = 730.689989999827m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32788839--0.32769665) × cos(-0.92953865) × R
    0.000191739999999996 × 0.598203746011272 × 6371000     		do = 730.751064063726m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32788839--0.32769665) × cos(-0.92965334) × R
    0.000191739999999996 × 0.598111835928641 × 6371000     		du = 730.638788954906m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.92953865)-sin(-0.92965334))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.598203746011272-0.598111835928641)×R²
    abs(-0.32769665--0.32788839)×9.19100826303199e-05×R²
    0.000191739999999996×9.19100826303199e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.19100826303199e-05×40589641000000     		ar = 533911.469129069m²