Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14674 / 22104
↖ ↑ ↗
← S 53.067627°
W 18.786621°		 ← 734.01 m → S 53.067627°
W 18.775635°		 →
↑
734 m
↓
↑
734 m
↓
S 53.074228°
W 18.786621°		 ← 733.90 m →
538 725 m²		 S 53.074228°
W 18.775635°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14674 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22104 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.447830200195312 y=0.674575805664062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.447830200195312 × 215)
    floor (0.447830200195312 × 32768)
    floor (14674.5)     		tx = 14674
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.674575805664062 × 215)
    floor (0.674575805664062 × 32768)
    floor (22104.5)     		ty = 22104
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14674 / 22104 ti = "15/14674/22104"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14674/22104.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14674 ÷ 215
    14674 ÷ 32768     		x = 0.44781494140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22104 ÷ 215
    22104 ÷ 32768     		y = 0.674560546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44781494140625 × 2 - 1) × π
    -0.1043701171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.32788839
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.674560546875 × 2 - 1) × π
    -0.34912109375 × 3.1415926535     		Φ = -1.09679626330688
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32788839} λ = -0.32788839}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.09679626330688))-π/2
    2×atan(0.333939225111309)-π/2
    2×0.322295757842505-π/2
    0.64459151568501-1.57079632675     		φ = -0.92620481
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32788839} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.786621°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.92620481 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -53.067627°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14674 KachelY 22104 -0.32788839 -0.92620481 -18.786621 -53.067627
    Oben rechts KachelX + 1 14675 KachelY 22104 -0.32769665 -0.92620481 -18.775635 -53.067627
    Unten links KachelX 14674 KachelY + 1 22105 -0.32788839 -0.92632002 -18.786621 -53.074228
    Unten rechts KachelX + 1 14675 KachelY + 1 22105 -0.32769665 -0.92632002 -18.775635 -53.074228
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.92620481--0.92632002) × R
    0.000115210000000032 × 6371000     		dl = 734.002910000205m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.92620481--0.92632002) × R
    0.000115210000000032 × 6371000     		dr = 734.002910000205m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32788839--0.32769665) × cos(-0.92620481) × R
    0.000191739999999996 × 0.600871969531578 × 6371000     		do = 734.010500651384m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32788839--0.32769665) × cos(-0.92632002) × R
    0.000191739999999996 × 0.600779872974313 × 6371000     		du = 733.897997749712m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.92620481)-sin(-0.92632002))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.600871969531578-0.600779872974313)×R²
    abs(-0.32769665--0.32788839)×9.20965572644983e-05×R²
    0.000191739999999996×9.20965572644983e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.20965572644983e-05×40589641000000     		ar = 538724.555316375m²