Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14666 / 22088
↖ ↑ ↗
← S 52.961875°
W 18.874511°		 ← 735.81 m → S 52.961875°
W 18.863526°		 →
↑
735.79 m
↓
↑
735.79 m
↓
S 52.968492°
W 18.874511°		 ← 735.70 m →
541 359 m²		 S 52.968492°
W 18.863526°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14666 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22088 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.447586059570312 y=0.674087524414062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.447586059570312 × 215)
    floor (0.447586059570312 × 32768)
    floor (14666.5)     		tx = 14666
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.674087524414062 × 215)
    floor (0.674087524414062 × 32768)
    floor (22088.5)     		ty = 22088
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14666 / 22088 ti = "15/14666/22088"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14666/22088.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14666 ÷ 215
    14666 ÷ 32768     		x = 0.44757080078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22088 ÷ 215
    22088 ÷ 32768     		y = 0.674072265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44757080078125 × 2 - 1) × π
    -0.1048583984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.32942237
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.674072265625 × 2 - 1) × π
    -0.34814453125 × 3.1415926535     		Φ = -1.0937283017312
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32942237} λ = -0.32942237}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.0937283017312))-π/2
    2×atan(0.334965311013799)-π/2
    2×0.323218614501492-π/2
    0.646437229002984-1.57079632675     		φ = -0.92435910
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32942237} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.874511°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.92435910 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -52.961875°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14666 KachelY 22088 -0.32942237 -0.92435910 -18.874511 -52.961875
    Oben rechts KachelX + 1 14667 KachelY 22088 -0.32923063 -0.92435910 -18.863526 -52.961875
    Unten links KachelX 14666 KachelY + 1 22089 -0.32942237 -0.92447459 -18.874511 -52.968492
    Unten rechts KachelX + 1 14667 KachelY + 1 22089 -0.32923063 -0.92447459 -18.863526 -52.968492
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.92435910--0.92447459) × R
    0.000115489999999996 × 6371000     		dl = 735.786789999974m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.92435910--0.92447459) × R
    0.000115489999999996 × 6371000     		dr = 735.786789999974m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32942237--0.32923063) × cos(-0.92435910) × R
    0.000191739999999996 × 0.602346304791586 × 6371000     		do = 735.81151254277m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32942237--0.32923063) × cos(-0.92447459) × R
    0.000191739999999996 × 0.602254112628076 × 6371000     		du = 735.698892850847m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.92435910)-sin(-0.92447459))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.602346304791586-0.602254112628076)×R²
    abs(-0.32923063--0.32942237)×9.21921635104184e-05×R²
    0.000191739999999996×9.21921635104184e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.21921635104184e-05×40589641000000     		ar = 541358.959419395m²