Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14663 / 22069
↖ ↑ ↗
← S 52.835958°
W 18.907471°		 ← 737.99 m → S 52.835958°
W 18.896484°		 →
↑
737.95 m
↓
↑
737.95 m
↓
S 52.842595°
W 18.907471°		 ← 737.88 m →
544 561 m²		 S 52.842595°
W 18.896484°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14663 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22069 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.447494506835938 y=0.673507690429688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.447494506835938 × 215)
    floor (0.447494506835938 × 32768)
    floor (14663.5)     		tx = 14663
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.673507690429688 × 215)
    floor (0.673507690429688 × 32768)
    floor (22069.5)     		ty = 22069
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14663 / 22069 ti = "15/14663/22069"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14663/22069.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14663 ÷ 215
    14663 ÷ 32768     		x = 0.447479248046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22069 ÷ 215
    22069 ÷ 32768     		y = 0.673492431640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.447479248046875 × 2 - 1) × π
    -0.10504150390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.32999762
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.673492431640625 × 2 - 1) × π
    -0.34698486328125 × 3.1415926535     		Φ = -1.09008509736008
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32999762} λ = -0.32999762}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.09008509736008))-π/2
    2×atan(0.336187883788036)-π/2
    2×0.324317445966891-π/2
    0.648634891933781-1.57079632675     		φ = -0.92216143
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32999762} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.907471°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.92216143 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -52.835958°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14663 KachelY 22069 -0.32999762 -0.92216143 -18.907471 -52.835958
    Oben rechts KachelX + 1 14664 KachelY 22069 -0.32980587 -0.92216143 -18.896484 -52.835958
    Unten links KachelX 14663 KachelY + 1 22070 -0.32999762 -0.92227726 -18.907471 -52.842595
    Unten rechts KachelX + 1 14664 KachelY + 1 22070 -0.32980587 -0.92227726 -18.896484 -52.842595
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.92216143--0.92227726) × R
    0.000115830000000039 × 6371000     		dl = 737.952930000248m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.92216143--0.92227726) × R
    0.000115830000000039 × 6371000     		dr = 737.952930000248m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32999762--0.32980587) × cos(-0.92216143) × R
    0.000191749999999991 × 0.604099105644241 × 6371000     		do = 737.991178344865m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32999762--0.32980587) × cos(-0.92227726) × R
    0.000191749999999991 × 0.604006795599517 × 6371000     		du = 737.878408771061m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.92216143)-sin(-0.92227726))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.604099105644241-0.604006795599517)×R²
    abs(-0.32980587--0.32999762)×9.23100447237646e-05×R²
    0.000191749999999991×9.23100447237646e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.23100447237646e-05×40589641000000     		ar = 544561.14366383m²