Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14663 / 22010
↖ ↑ ↗
← S 52.442618°
W 18.907471°		 ← 744.66 m → S 52.442618°
W 18.896484°		 →
↑
744.58 m
↓
↑
744.58 m
↓
S 52.449314°
W 18.907471°		 ← 744.54 m →
554 414 m²		 S 52.449314°
W 18.896484°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14663 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22010 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.447494506835938 y=0.671707153320312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.447494506835938 × 215)
    floor (0.447494506835938 × 32768)
    floor (14663.5)     		tx = 14663
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.671707153320312 × 215)
    floor (0.671707153320312 × 32768)
    floor (22010.5)     		ty = 22010
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14663 / 22010 ti = "15/14663/22010"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14663/22010.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14663 ÷ 215
    14663 ÷ 32768     		x = 0.447479248046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22010 ÷ 215
    22010 ÷ 32768     		y = 0.67169189453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.447479248046875 × 2 - 1) × π
    -0.10504150390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.32999762
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.67169189453125 × 2 - 1) × π
    -0.3433837890625 × 3.1415926535     		Φ = -1.07877198904974
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32999762} λ = -0.32999762}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.07877198904974))-π/2
    2×atan(0.340012808830811)-π/2
    2×0.327749988297953-π/2
    0.655499976595906-1.57079632675     		φ = -0.91529635
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32999762} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.907471°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.91529635 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -52.442618°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14663 KachelY 22010 -0.32999762 -0.91529635 -18.907471 -52.442618
    Oben rechts KachelX + 1 14664 KachelY 22010 -0.32980587 -0.91529635 -18.896484 -52.442618
    Unten links KachelX 14663 KachelY + 1 22011 -0.32999762 -0.91541322 -18.907471 -52.449314
    Unten rechts KachelX + 1 14664 KachelY + 1 22011 -0.32980587 -0.91541322 -18.896484 -52.449314
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.91529635--0.91541322) × R
    0.000116870000000047 × 6371000     		dl = 744.578770000297m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.91529635--0.91541322) × R
    0.000116870000000047 × 6371000     		dr = 744.578770000297m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32999762--0.32980587) × cos(-0.91529635) × R
    0.000191749999999991 × 0.609555672736351 × 6371000     		do = 744.657134874844m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32999762--0.32980587) × cos(-0.91541322) × R
    0.000191749999999991 × 0.609463020668518 × 6371000     		du = 744.543947472186m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.91529635)-sin(-0.91541322))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.609555672736351-0.609463020668518)×R²
    abs(-0.32980587--0.32999762)×9.26520678327103e-05×R²
    0.000191749999999991×9.26520678327103e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.26520678327103e-05×40589641000000     		ar = 554413.755719415m²