Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14661 / 22011
↖ ↑ ↗
← S 52.449314°
W 18.929443°		 ← 744.54 m → S 52.449314°
W 18.918457°		 →
↑
744.52 m
↓
↑
744.52 m
↓
S 52.456010°
W 18.929443°		 ← 744.43 m →
554 282 m²		 S 52.456010°
W 18.918457°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14661 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22011 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.447433471679688 y=0.671737670898438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.447433471679688 × 215)
    floor (0.447433471679688 × 32768)
    floor (14661.5)     		tx = 14661
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.671737670898438 × 215)
    floor (0.671737670898438 × 32768)
    floor (22011.5)     		ty = 22011
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14661 / 22011 ti = "15/14661/22011"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14661/22011.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14661 ÷ 215
    14661 ÷ 32768     		x = 0.447418212890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22011 ÷ 215
    22011 ÷ 32768     		y = 0.671722412109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.447418212890625 × 2 - 1) × π
    -0.10516357421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.33038111
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.671722412109375 × 2 - 1) × π
    -0.34344482421875 × 3.1415926535     		Φ = -1.07896373664822
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33038111} λ = -0.33038111}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.07896373664822))-π/2
    2×atan(0.339947618441515)-π/2
    2×0.327691552321347-π/2
    0.655383104642695-1.57079632675     		φ = -0.91541322
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33038111} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.929443°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.91541322 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -52.449314°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14661 KachelY 22011 -0.33038111 -0.91541322 -18.929443 -52.449314
    Oben rechts KachelX + 1 14662 KachelY 22011 -0.33018936 -0.91541322 -18.918457 -52.449314
    Unten links KachelX 14661 KachelY + 1 22012 -0.33038111 -0.91553008 -18.929443 -52.456010
    Unten rechts KachelX + 1 14662 KachelY + 1 22012 -0.33018936 -0.91553008 -18.918457 -52.456010
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.91541322--0.91553008) × R
    0.000116859999999996 × 6371000     		dl = 744.515059999977m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.91541322--0.91553008) × R
    0.000116859999999996 × 6371000     		dr = 744.515059999977m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33038111--0.33018936) × cos(-0.91541322) × R
    0.000191749999999991 × 0.609463020668518 × 6371000     		do = 744.543947472186m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33038111--0.33018936) × cos(-0.91553008) × R
    0.000191749999999991 × 0.609370368205133 × 6371000     		du = 744.430759586305m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.91541322)-sin(-0.91553008))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.609463020668518-0.609370368205133)×R²
    abs(-0.33018936--0.33038111)×9.265246338519e-05×R²
    0.000191749999999991×9.265246338519e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.265246338519e-05×40589641000000     		ar = 554282.047312283m²