Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14660 / 22055
↖ ↑ ↗
← S 52.742943°
W 18.940430°		 ← 739.57 m → S 52.742943°
W 18.929443°		 →
↑
739.48 m
↓
↑
739.48 m
↓
S 52.749594°
W 18.940430°		 ← 739.46 m →
546 857 m²		 S 52.749594°
W 18.929443°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14660 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22055 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.447402954101562 y=0.673080444335938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.447402954101562 × 215)
    floor (0.447402954101562 × 32768)
    floor (14660.5)     		tx = 14660
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.673080444335938 × 215)
    floor (0.673080444335938 × 32768)
    floor (22055.5)     		ty = 22055
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14660 / 22055 ti = "15/14660/22055"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14660/22055.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14660 ÷ 215
    14660 ÷ 32768     		x = 0.4473876953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22055 ÷ 215
    22055 ÷ 32768     		y = 0.673065185546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4473876953125 × 2 - 1) × π
    -0.105224609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.33057286
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.673065185546875 × 2 - 1) × π
    -0.34613037109375 × 3.1415926535     		Φ = -1.08740063098135
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33057286} λ = -0.33057286}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.08740063098135))-π/2
    2×atan(0.337091581289081)-π/2
    2×0.325129155400652-π/2
    0.650258310801305-1.57079632675     		φ = -0.92053802
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33057286} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.940430°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.92053802 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -52.742943°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14660 KachelY 22055 -0.33057286 -0.92053802 -18.940430 -52.742943
    Oben rechts KachelX + 1 14661 KachelY 22055 -0.33038111 -0.92053802 -18.929443 -52.742943
    Unten links KachelX 14660 KachelY + 1 22056 -0.33057286 -0.92065409 -18.940430 -52.749594
    Unten rechts KachelX + 1 14661 KachelY + 1 22056 -0.33038111 -0.92065409 -18.929443 -52.749594
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.92053802--0.92065409) × R
    0.000116070000000024 × 6371000     		dl = 739.481970000151m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.92053802--0.92065409) × R
    0.000116070000000024 × 6371000     		dr = 739.481970000151m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33057286--0.33038111) × cos(-0.92053802) × R
    0.000191750000000046 × 0.605392019398481 × 6371000     		do = 739.570652534123m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33057286--0.33038111) × cos(-0.92065409) × R
    0.000191750000000046 × 0.605299632021777 × 6371000     		du = 739.457788488537m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.92053802)-sin(-0.92065409))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.605392019398481-0.605299632021777)×R²
    abs(-0.33038111--0.33057286)×9.23873767035843e-05×R²
    0.000191750000000046×9.23873767035843e-05×6371000²
    0.000191750000000046×9.23873767035843e-05×40589641000000     		ar = 546857.433241321m²