Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14659 / 22121
↖ ↑ ↗
← S 53.179704°
W 18.951416°		 ← 732.14 m → S 53.179704°
W 18.940430°		 →
↑
732.09 m
↓
↑
732.09 m
↓
S 53.186288°
W 18.951416°		 ← 732.02 m →
535 950 m²		 S 53.186288°
W 18.940430°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14659 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22121 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.447372436523438 y=0.675094604492188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.447372436523438 × 215)
    floor (0.447372436523438 × 32768)
    floor (14659.5)     		tx = 14659
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.675094604492188 × 215)
    floor (0.675094604492188 × 32768)
    floor (22121.5)     		ty = 22121
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14659 / 22121 ti = "15/14659/22121"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14659/22121.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14659 ÷ 215
    14659 ÷ 32768     		x = 0.447357177734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22121 ÷ 215
    22121 ÷ 32768     		y = 0.675079345703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.447357177734375 × 2 - 1) × π
    -0.10528564453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.33076461
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.675079345703125 × 2 - 1) × π
    -0.35015869140625 × 3.1415926535     		Φ = -1.10005597248105
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33076461} λ = -0.33076461}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.10005597248105))-π/2
    2×atan(0.332852452599075)-π/2
    2×0.321317699317339-π/2
    0.642635398634678-1.57079632675     		φ = -0.92816093
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33076461} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.951416°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.92816093 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -53.179704°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14659 KachelY 22121 -0.33076461 -0.92816093 -18.951416 -53.179704
    Oben rechts KachelX + 1 14660 KachelY 22121 -0.33057286 -0.92816093 -18.940430 -53.179704
    Unten links KachelX 14659 KachelY + 1 22122 -0.33076461 -0.92827584 -18.951416 -53.186288
    Unten rechts KachelX + 1 14660 KachelY + 1 22122 -0.33057286 -0.92827584 -18.940430 -53.186288
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.92816093--0.92827584) × R
    0.000114909999999968 × 6371000     		dl = 732.091609999797m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.92816093--0.92827584) × R
    0.000114909999999968 × 6371000     		dr = 732.091609999797m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33076461--0.33057286) × cos(-0.92816093) × R
    0.000191749999999991 × 0.599307205650633 × 6371000     		do = 732.137205230599m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33076461--0.33057286) × cos(-0.92827584) × R
    0.000191749999999991 × 0.599215214041193 × 6371000     		du = 732.024824669837m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.92816093)-sin(-0.92827584))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.599307205650633-0.599215214041193)×R²
    abs(-0.33057286--0.33076461)×9.19916094399564e-05×R²
    0.000191749999999991×9.19916094399564e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.19916094399564e-05×40589641000000     		ar = 535950.369474933m²