Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14658 / 22122
↖ ↑ ↗
← S 53.186288°
W 18.962402°		 ← 731.99 m → S 53.186288°
W 18.951416°		 →
↑
731.90 m
↓
↑
731.90 m
↓
S 53.192870°
W 18.962402°		 ← 731.87 m →
535 700 m²		 S 53.192870°
W 18.951416°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14658 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22122 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.447341918945312 y=0.675125122070312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.447341918945312 × 215)
    floor (0.447341918945312 × 32768)
    floor (14658.5)     		tx = 14658
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.675125122070312 × 215)
    floor (0.675125122070312 × 32768)
    floor (22122.5)     		ty = 22122
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14658 / 22122 ti = "15/14658/22122"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14658/22122.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14658 ÷ 215
    14658 ÷ 32768     		x = 0.44732666015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22122 ÷ 215
    22122 ÷ 32768     		y = 0.67510986328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44732666015625 × 2 - 1) × π
    -0.1053466796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.33095635
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.67510986328125 × 2 - 1) × π
    -0.3502197265625 × 3.1415926535     		Φ = -1.10024772007953
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33095635} λ = -0.33095635}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.10024772007953))-π/2
    2×atan(0.332788635059266)-π/2
    2×0.321260245868203-π/2
    0.642520491736406-1.57079632675     		φ = -0.92827584
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33095635} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.962402°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.92827584 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -53.186288°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14658 KachelY 22122 -0.33095635 -0.92827584 -18.962402 -53.186288
    Oben rechts KachelX + 1 14659 KachelY 22122 -0.33076461 -0.92827584 -18.951416 -53.186288
    Unten links KachelX 14658 KachelY + 1 22123 -0.33095635 -0.92839072 -18.962402 -53.192870
    Unten rechts KachelX + 1 14659 KachelY + 1 22123 -0.33076461 -0.92839072 -18.951416 -53.192870
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.92827584--0.92839072) × R
    0.000114880000000039 × 6371000     		dl = 731.900480000251m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.92827584--0.92839072) × R
    0.000114880000000039 × 6371000     		dr = 731.900480000251m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33095635--0.33076461) × cos(-0.92827584) × R
    0.000191739999999996 × 0.599215214041193 × 6371000     		do = 731.98664866857m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33095635--0.33076461) × cos(-0.92839072) × R
    0.000191739999999996 × 0.599123238539236 × 6371000     		du = 731.8742936451m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.92827584)-sin(-0.92839072))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.599215214041193-0.599123238539236)×R²
    abs(-0.33076461--0.33095635)×9.19755019573865e-05×R²
    0.000191739999999996×9.19755019573865e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.19755019573865e-05×40589641000000     		ar = 535700.263755552m²