Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14657 / 22077
↖ ↑ ↗
← S 52.889020°
W 18.973389°		 ← 737.09 m → S 52.889020°
W 18.962402°		 →
↑
737.06 m
↓
↑
737.06 m
↓
S 52.895649°
W 18.973389°		 ← 736.98 m →
543 238 m²		 S 52.895649°
W 18.962402°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14657 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22077 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.447311401367188 y=0.673751831054688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.447311401367188 × 215)
    floor (0.447311401367188 × 32768)
    floor (14657.5)     		tx = 14657
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.673751831054688 × 215)
    floor (0.673751831054688 × 32768)
    floor (22077.5)     		ty = 22077
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14657 / 22077 ti = "15/14657/22077"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14657/22077.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14657 ÷ 215
    14657 ÷ 32768     		x = 0.447296142578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22077 ÷ 215
    22077 ÷ 32768     		y = 0.673736572265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.447296142578125 × 2 - 1) × π
    -0.10540771484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.33114810
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.673736572265625 × 2 - 1) × π
    -0.34747314453125 × 3.1415926535     		Φ = -1.09161907814792
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33114810} λ = -0.33114810}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.09161907814792))-π/2
    2×atan(0.335672573372387)-π/2
    2×0.323854390912073-π/2
    0.647708781824145-1.57079632675     		φ = -0.92308754
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33114810} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.973389°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.92308754 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -52.889020°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14657 KachelY 22077 -0.33114810 -0.92308754 -18.973389 -52.889020
    Oben rechts KachelX + 1 14658 KachelY 22077 -0.33095635 -0.92308754 -18.962402 -52.889020
    Unten links KachelX 14657 KachelY + 1 22078 -0.33114810 -0.92320323 -18.973389 -52.895649
    Unten rechts KachelX + 1 14658 KachelY + 1 22078 -0.33095635 -0.92320323 -18.962402 -52.895649
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.92308754--0.92320323) × R
    0.000115690000000002 × 6371000     		dl = 737.06099000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.92308754--0.92320323) × R
    0.000115690000000002 × 6371000     		dr = 737.06099000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33114810--0.33095635) × cos(-0.92308754) × R
    0.000191749999999991 × 0.60336082111021 × 6371000     		do = 737.089260980425m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33114810--0.33095635) × cos(-0.92320323) × R
    0.000191749999999991 × 0.603268557962866 × 6371000     		du = 736.976548698301m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.92308754)-sin(-0.92320323))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.60336082111021-0.603268557962866)×R²
    abs(-0.33095635--0.33114810)×9.22631473442292e-05×R²
    0.000191749999999991×9.22631473442292e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.22631473442292e-05×40589641000000     		ar = 543238.203109677m²