Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14655 / 22083
↖ ↑ ↗
← S 52.928774°
W 18.995361°		 ← 736.41 m → S 52.928774°
W 18.984375°		 →
↑
736.36 m
↓
↑
736.36 m
↓
S 52.935397°
W 18.995361°		 ← 736.30 m →
542 224 m²		 S 52.935397°
W 18.984375°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14655 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22083 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.447250366210938 y=0.673934936523438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.447250366210938 × 215)
    floor (0.447250366210938 × 32768)
    floor (14655.5)     		tx = 14655
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.673934936523438 × 215)
    floor (0.673934936523438 × 32768)
    floor (22083.5)     		ty = 22083
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14655 / 22083 ti = "15/14655/22083"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14655/22083.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14655 ÷ 215
    14655 ÷ 32768     		x = 0.447235107421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22083 ÷ 215
    22083 ÷ 32768     		y = 0.673919677734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.447235107421875 × 2 - 1) × π
    -0.10552978515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.33153160
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.673919677734375 × 2 - 1) × π
    -0.34783935546875 × 3.1415926535     		Φ = -1.0927695637388
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33153160} λ = -0.33153160}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.0927695637388))-π/2
    2×atan(0.335286608979277)-π/2
    2×0.323507471146395-π/2
    0.64701494229279-1.57079632675     		φ = -0.92378138
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33153160} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.995361°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.92378138 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -52.928774°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14655 KachelY 22083 -0.33153160 -0.92378138 -18.995361 -52.928774
    Oben rechts KachelX + 1 14656 KachelY 22083 -0.33133985 -0.92378138 -18.984375 -52.928774
    Unten links KachelX 14655 KachelY + 1 22084 -0.33153160 -0.92389696 -18.995361 -52.935397
    Unten rechts KachelX + 1 14656 KachelY + 1 22084 -0.33133985 -0.92389696 -18.984375 -52.935397
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.92378138--0.92389696) × R
    0.000115580000000004 × 6371000     		dl = 736.360180000026m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.92378138--0.92389696) × R
    0.000115580000000004 × 6371000     		dr = 736.360180000026m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33153160--0.33133985) × cos(-0.92378138) × R
    0.000191749999999991 × 0.602807360503113 × 6371000     		do = 736.413131779466m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33153160--0.33133985) × cos(-0.92389696) × R
    0.000191749999999991 × 0.602715136724911 × 6371000     		du = 736.300467592231m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.92378138)-sin(-0.92389696))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.602807360503113-0.602715136724911)×R²
    abs(-0.33133985--0.33153160)×9.22237782020607e-05×R²
    0.000191749999999991×9.22237782020607e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.22237782020607e-05×40589641000000     		ar = 542223.826164874m²