Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14655 / 21999
↖ ↑ ↗
← S 52.368892°
W 18.995361°		 ← 745.90 m → S 52.368892°
W 18.984375°		 →
↑
745.79 m
↓
↑
745.79 m
↓
S 52.375599°
W 18.995361°		 ← 745.79 m →
556 244 m²		 S 52.375599°
W 18.984375°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14655 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21999 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.447250366210938 y=0.671371459960938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.447250366210938 × 215)
    floor (0.447250366210938 × 32768)
    floor (14655.5)     		tx = 14655
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.671371459960938 × 215)
    floor (0.671371459960938 × 32768)
    floor (21999.5)     		ty = 21999
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14655 / 21999 ti = "15/14655/21999"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14655/21999.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14655 ÷ 215
    14655 ÷ 32768     		x = 0.447235107421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21999 ÷ 215
    21999 ÷ 32768     		y = 0.671356201171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.447235107421875 × 2 - 1) × π
    -0.10552978515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.33153160
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.671356201171875 × 2 - 1) × π
    -0.34271240234375 × 3.1415926535     		Φ = -1.07666276546646
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33153160} λ = -0.33153160}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.07666276546646))-π/2
    2×atan(0.340730728726444)-π/2
    2×0.328393370461595-π/2
    0.656786740923191-1.57079632675     		φ = -0.91400959
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33153160} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.995361°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.91400959 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -52.368892°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14655 KachelY 21999 -0.33153160 -0.91400959 -18.995361 -52.368892
    Oben rechts KachelX + 1 14656 KachelY 21999 -0.33133985 -0.91400959 -18.984375 -52.368892
    Unten links KachelX 14655 KachelY + 1 22000 -0.33153160 -0.91412665 -18.995361 -52.375599
    Unten rechts KachelX + 1 14656 KachelY + 1 22000 -0.33133985 -0.91412665 -18.984375 -52.375599
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.91400959--0.91412665) × R
    0.000117060000000002 × 6371000     		dl = 745.789260000014m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.91400959--0.91412665) × R
    0.000117060000000002 × 6371000     		dr = 745.789260000014m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33153160--0.33133985) × cos(-0.91400959) × R
    0.000191749999999991 × 0.610575238140375 × 6371000     		do = 745.902675990342m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33153160--0.33133985) × cos(-0.91412665) × R
    0.000191749999999991 × 0.61048252732382 × 6371000     		du = 745.789416817939m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.91400959)-sin(-0.91412665))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.610575238140375-0.61048252732382)×R²
    abs(-0.33133985--0.33153160)×9.27108165552637e-05×R²
    0.000191749999999991×9.27108165552637e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.27108165552637e-05×40589641000000     		ar = 556243.971656508m²