Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14654 / 22130
↖ ↑ ↗
← S 53.238921°
W 19.006348°		 ← 731.13 m → S 53.238921°
W 18.995361°		 →
↑
731.01 m
↓
↑
731.01 m
↓
S 53.245495°
W 19.006348°		 ← 731.01 m →
534 418 m²		 S 53.245495°
W 18.995361°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14654 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22130 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.447219848632812 y=0.675369262695312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.447219848632812 × 215)
    floor (0.447219848632812 × 32768)
    floor (14654.5)     		tx = 14654
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.675369262695312 × 215)
    floor (0.675369262695312 × 32768)
    floor (22130.5)     		ty = 22130
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14654 / 22130 ti = "15/14654/22130"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14654/22130.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14654 ÷ 215
    14654 ÷ 32768     		x = 0.44720458984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22130 ÷ 215
    22130 ÷ 32768     		y = 0.67535400390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44720458984375 × 2 - 1) × π
    -0.1055908203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.33172335
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.67535400390625 × 2 - 1) × π
    -0.3507080078125 × 3.1415926535     		Φ = -1.10178170086737
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33172335} λ = -0.33172335}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.10178170086737))-π/2
    2×atan(0.332278535028523)-π/2
    2×0.320800935710816-π/2
    0.641601871421633-1.57079632675     		φ = -0.92919446
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33172335} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.006348°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.92919446 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -53.238921°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14654 KachelY 22130 -0.33172335 -0.92919446 -19.006348 -53.238921
    Oben rechts KachelX + 1 14655 KachelY 22130 -0.33153160 -0.92919446 -18.995361 -53.238921
    Unten links KachelX 14654 KachelY + 1 22131 -0.33172335 -0.92930920 -19.006348 -53.245495
    Unten rechts KachelX + 1 14655 KachelY + 1 22131 -0.33153160 -0.92930920 -18.995361 -53.245495
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.92919446--0.92930920) × R
    0.000114739999999891 × 6371000     		dl = 731.008539999306m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.92919446--0.92930920) × R
    0.000114739999999891 × 6371000     		dr = 731.008539999306m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33172335--0.33153160) × cos(-0.92919446) × R
    0.000191749999999991 × 0.598479525179003 × 6371000     		do = 731.126078279998m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33172335--0.33153160) × cos(-0.92930920) × R
    0.000191749999999991 × 0.598387598653849 × 6371000     		du = 731.013777228753m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.92919446)-sin(-0.92930920))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.598479525179003-0.598387598653849)×R²
    abs(-0.33153160--0.33172335)×9.1926525154884e-05×R²
    0.000191749999999991×9.1926525154884e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.1926525154884e-05×40589641000000     		ar = 534418.361111839m²