Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14654 / 21997
↖ ↑ ↗
← S 52.355474°
W 19.006348°		 ← 746.13 m → S 52.355474°
W 18.995361°		 →
↑
746.04 m
↓
↑
746.04 m
↓
S 52.362183°
W 19.006348°		 ← 746.02 m →
556 603 m²		 S 52.362183°
W 18.995361°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14654 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21997 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.447219848632812 y=0.671310424804688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.447219848632812 × 215)
    floor (0.447219848632812 × 32768)
    floor (14654.5)     		tx = 14654
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.671310424804688 × 215)
    floor (0.671310424804688 × 32768)
    floor (21997.5)     		ty = 21997
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14654 / 21997 ti = "15/14654/21997"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14654/21997.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14654 ÷ 215
    14654 ÷ 32768     		x = 0.44720458984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21997 ÷ 215
    21997 ÷ 32768     		y = 0.671295166015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44720458984375 × 2 - 1) × π
    -0.1055908203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.33172335
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.671295166015625 × 2 - 1) × π
    -0.34259033203125 × 3.1415926535     		Φ = -1.0762792702695
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33172335} λ = -0.33172335}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.0762792702695))-π/2
    2×atan(0.340861422382961)-π/2
    2×0.328510464577312-π/2
    0.657020929154624-1.57079632675     		φ = -0.91377540
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33172335} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.006348°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.91377540 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -52.355474°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14654 KachelY 21997 -0.33172335 -0.91377540 -19.006348 -52.355474
    Oben rechts KachelX + 1 14655 KachelY 21997 -0.33153160 -0.91377540 -18.995361 -52.355474
    Unten links KachelX 14654 KachelY + 1 21998 -0.33172335 -0.91389250 -19.006348 -52.362183
    Unten rechts KachelX + 1 14655 KachelY + 1 21998 -0.33153160 -0.91389250 -18.995361 -52.362183
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.91377540--0.91389250) × R
    0.000117099999999981 × 6371000     		dl = 746.04409999988m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.91377540--0.91389250) × R
    0.000117099999999981 × 6371000     		dr = 746.04409999988m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33172335--0.33153160) × cos(-0.91377540) × R
    0.000191749999999991 × 0.610760690099066 × 6371000     		do = 746.129231382069m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33172335--0.33153160) × cos(-0.91389250) × R
    0.000191749999999991 × 0.610667964346794 × 6371000     		du = 746.015953963607m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.91377540)-sin(-0.91389250))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.610760690099066-0.610667964346794)×R²
    abs(-0.33153160--0.33172335)×9.27257522721492e-05×R²
    0.000191749999999991×9.27257522721492e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.27257522721492e-05×40589641000000     		ar = 556603.056571352m²