Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14651 / 21915
↖ ↑ ↗
← S 51.801821°
W 19.039307°		 ← 755.44 m → S 51.801821°
W 19.028320°		 →
↑
755.41 m
↓
↑
755.41 m
↓
S 51.808615°
W 19.039307°		 ← 755.33 m →
570 625 m²		 S 51.808615°
W 19.028320°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14651 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21915 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.447128295898438 y=0.668807983398438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.447128295898438 × 215)
    floor (0.447128295898438 × 32768)
    floor (14651.5)     		tx = 14651
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.668807983398438 × 215)
    floor (0.668807983398438 × 32768)
    floor (21915.5)     		ty = 21915
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14651 / 21915 ti = "15/14651/21915"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14651/21915.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14651 ÷ 215
    14651 ÷ 32768     		x = 0.447113037109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21915 ÷ 215
    21915 ÷ 32768     		y = 0.668792724609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.447113037109375 × 2 - 1) × π
    -0.10577392578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.33229859
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.668792724609375 × 2 - 1) × π
    -0.33758544921875 × 3.1415926535     		Φ = -1.06055596719412
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33229859} λ = -0.33229859}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.06055596719412))-π/2
    2×atan(0.346263245800042)-π/2
    2×0.333341991547294-π/2
    0.666683983094587-1.57079632675     		φ = -0.90411234
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33229859} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.039307°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.90411234 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -51.801821°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14651 KachelY 21915 -0.33229859 -0.90411234 -19.039307 -51.801821
    Oben rechts KachelX + 1 14652 KachelY 21915 -0.33210684 -0.90411234 -19.028320 -51.801821
    Unten links KachelX 14651 KachelY + 1 21916 -0.33229859 -0.90423091 -19.039307 -51.808615
    Unten rechts KachelX + 1 14652 KachelY + 1 21916 -0.33210684 -0.90423091 -19.028320 -51.808615
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.90411234--0.90423091) × R
    0.00011857000000004 × 6371000     		dl = 755.409470000255m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.90411234--0.90423091) × R
    0.00011857000000004 × 6371000     		dr = 755.409470000255m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33229859--0.33210684) × cos(-0.90411234) × R
    0.000191749999999991 × 0.618383414645116 × 6371000     		do = 755.441450879461m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33229859--0.33210684) × cos(-0.90423091) × R
    0.000191749999999991 × 0.618290228915873 × 6371000     		du = 755.327611535079m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.90411234)-sin(-0.90423091))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.618383414645116-0.618290228915873)×R²
    abs(-0.33210684--0.33229859)×9.31857292426619e-05×R²
    0.000191749999999991×9.31857292426619e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.31857292426619e-05×40589641000000     		ar = 570624.629034149m²