Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 14649 / 22075
↖ ↑ ↗
← S 52.875761°
W 19.061279°		 ← 737.28 m → S 52.875761°
W 19.050293°		 →
↑
737.25 m
↓
↑
737.25 m
↓
S 52.882391°
W 19.061279°		 ← 737.16 m →
543 517 m²		 S 52.882391°
W 19.050293°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14649 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22075 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.447067260742188 y=0.673690795898438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.447067260742188 × 215)
    floor (0.447067260742188 × 32768)
    floor (14649.5)     		tx = 14649
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.673690795898438 × 215)
    floor (0.673690795898438 × 32768)
    floor (22075.5)     		ty = 22075
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14649 / 22075 ti = "15/14649/22075"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14649/22075.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14649 ÷ 215
    14649 ÷ 32768     		x = 0.447052001953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22075 ÷ 215
    22075 ÷ 32768     		y = 0.673675537109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.447052001953125 × 2 - 1) × π
    -0.10589599609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.33268208
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.673675537109375 × 2 - 1) × π
    -0.34735107421875 × 3.1415926535     		Φ = -1.09123558295096
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33268208} λ = -0.33268208}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.09123558295096))-π/2
    2×atan(0.335801326878624)-π/2
    2×0.323970101591468-π/2
    0.647940203182936-1.57079632675     		φ = -0.92285612
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33268208} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.061279°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.92285612 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -52.875761°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14649 KachelY 22075 -0.33268208 -0.92285612 -19.061279 -52.875761
    Oben rechts KachelX + 1 14650 KachelY 22075 -0.33249034 -0.92285612 -19.050293 -52.875761
    Unten links KachelX 14649 KachelY + 1 22076 -0.33268208 -0.92297184 -19.061279 -52.882391
    Unten rechts KachelX + 1 14650 KachelY + 1 22076 -0.33249034 -0.92297184 -19.050293 -52.882391
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.92285612--0.92297184) × R
    0.000115720000000041 × 6371000     		dl = 737.252120000263m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.92285612--0.92297184) × R
    0.000115720000000041 × 6371000     		dr = 737.252120000263m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33268208--0.33249034) × cos(-0.92285612) × R
    0.000191739999999996 × 0.603545355070349 × 6371000     		do = 737.276243034537m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33268208--0.33249034) × cos(-0.92297184) × R
    0.000191739999999996 × 0.603453084156052 × 6371000     		du = 737.163527142579m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.92285612)-sin(-0.92297184))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.603545355070349-0.603453084156052)×R²
    abs(-0.33249034--0.33268208)×9.22709142966438e-05×R²
    0.000191739999999996×9.22709142966438e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.22709142966438e-05×40589641000000     		ar = 543516.923794302m²