Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14648 / 21942
↖ ↑ ↗
← S 51.984880°
W 19.072266°		 ← 752.37 m → S 51.984880°
W 19.061279°		 →
↑
752.29 m
↓
↑
752.29 m
↓
S 51.991646°
W 19.072266°		 ← 752.26 m →
565 956 m²		 S 51.991646°
W 19.061279°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14648 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21942 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.447036743164062 y=0.669631958007812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.447036743164062 × 215)
    floor (0.447036743164062 × 32768)
    floor (14648.5)     		tx = 14648
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.669631958007812 × 215)
    floor (0.669631958007812 × 32768)
    floor (21942.5)     		ty = 21942
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14648 / 21942 ti = "15/14648/21942"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14648/21942.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14648 ÷ 215
    14648 ÷ 32768     		x = 0.447021484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21942 ÷ 215
    21942 ÷ 32768     		y = 0.66961669921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.447021484375 × 2 - 1) × π
    -0.10595703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.33287383
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.66961669921875 × 2 - 1) × π
    -0.3392333984375 × 3.1415926535     		Φ = -1.06573315235309
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33287383} λ = -0.33287383}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.06573315235309))-π/2
    2×atan(0.344475209354429)-π/2
    2×0.33174450355875-π/2
    0.663489007117501-1.57079632675     		φ = -0.90730732
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33287383} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.072266°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.90730732 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -51.984880°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14648 KachelY 21942 -0.33287383 -0.90730732 -19.072266 -51.984880
    Oben rechts KachelX + 1 14649 KachelY 21942 -0.33268208 -0.90730732 -19.061279 -51.984880
    Unten links KachelX 14648 KachelY + 1 21943 -0.33287383 -0.90742540 -19.072266 -51.991646
    Unten rechts KachelX + 1 14649 KachelY + 1 21943 -0.33268208 -0.90742540 -19.061279 -51.991646
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.90730732--0.90742540) × R
    0.00011808000000002 × 6371000     		dl = 752.28768000013m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.90730732--0.90742540) × R
    0.00011808000000002 × 6371000     		dr = 752.28768000013m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33287383--0.33268208) × cos(-0.90730732) × R
    0.000191749999999991 × 0.615869402861357 × 6371000     		do = 752.370235409459m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33287383--0.33268208) × cos(-0.90742540) × R
    0.000191749999999991 × 0.615776369445696 × 6371000     		du = 752.256582137326m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.90730732)-sin(-0.90742540))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.615869402861357-0.615776369445696)×R²
    abs(-0.33268208--0.33287383)×9.30334156609147e-05×R²
    0.000191749999999991×9.30334156609147e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.30334156609147e-05×40589641000000     		ar = 565956.109576078m²