Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14647 / 21929
↖ ↑ ↗
← S 51.896834°
W 19.083252°		 ← 753.85 m → S 51.896834°
W 19.072266°		 →
↑
753.82 m
↓
↑
753.82 m
↓
S 51.903613°
W 19.083252°		 ← 753.73 m →
568 221 m²		 S 51.903613°
W 19.072266°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14647 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21929 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.447006225585938 y=0.669235229492188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.447006225585938 × 215)
    floor (0.447006225585938 × 32768)
    floor (14647.5)     		tx = 14647
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.669235229492188 × 215)
    floor (0.669235229492188 × 32768)
    floor (21929.5)     		ty = 21929
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14647 / 21929 ti = "15/14647/21929"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14647/21929.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14647 ÷ 215
    14647 ÷ 32768     		x = 0.446990966796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21929 ÷ 215
    21929 ÷ 32768     		y = 0.669219970703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.446990966796875 × 2 - 1) × π
    -0.10601806640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.33306558
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.669219970703125 × 2 - 1) × π
    -0.33843994140625 × 3.1415926535     		Φ = -1.06324043357285
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33306558} λ = -0.33306558}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.06324043357285))-π/2
    2×atan(0.345334960291586)-π/2
    2×0.332512852097264-π/2
    0.665025704194528-1.57079632675     		φ = -0.90577062
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33306558} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.083252°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.90577062 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -51.896834°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14647 KachelY 21929 -0.33306558 -0.90577062 -19.083252 -51.896834
    Oben rechts KachelX + 1 14648 KachelY 21929 -0.33287383 -0.90577062 -19.072266 -51.896834
    Unten links KachelX 14647 KachelY + 1 21930 -0.33306558 -0.90588894 -19.083252 -51.903613
    Unten rechts KachelX + 1 14648 KachelY + 1 21930 -0.33287383 -0.90588894 -19.072266 -51.903613
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.90577062--0.90588894) × R
    0.000118320000000005 × 6371000     		dl = 753.816720000032m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.90577062--0.90588894) × R
    0.000118320000000005 × 6371000     		dr = 753.816720000032m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33306558--0.33287383) × cos(-0.90577062) × R
    0.000191750000000046 × 0.617079361632592 × 6371000     		do = 753.848368535499m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33306558--0.33287383) × cos(-0.90588894) × R
    0.000191750000000046 × 0.616986251196249 × 6371000     		du = 753.734621171878m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.90577062)-sin(-0.90588894))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.617079361632592-0.616986251196249)×R²
    abs(-0.33287383--0.33306558)×9.31104363430801e-05×R²
    0.000191750000000046×9.31104363430801e-05×6371000²
    0.000191750000000046×9.31104363430801e-05×40589641000000     		ar = 568220.632877144m²