Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14646 / 21944
↖ ↑ ↗
← S 51.998411°
W 19.094239°		 ← 752.14 m → S 51.998411°
W 19.083252°		 →
↑
752.03 m
↓
↑
752.03 m
↓
S 52.005174°
W 19.094239°		 ← 752.03 m →
565 593 m²		 S 52.005174°
W 19.083252°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14646 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21944 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.446975708007812 y=0.669692993164062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.446975708007812 × 215)
    floor (0.446975708007812 × 32768)
    floor (14646.5)     		tx = 14646
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.669692993164062 × 215)
    floor (0.669692993164062 × 32768)
    floor (21944.5)     		ty = 21944
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14646 / 21944 ti = "15/14646/21944"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14646/21944.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14646 ÷ 215
    14646 ÷ 32768     		x = 0.44696044921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21944 ÷ 215
    21944 ÷ 32768     		y = 0.669677734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44696044921875 × 2 - 1) × π
    -0.1060791015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.33325733
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.669677734375 × 2 - 1) × π
    -0.33935546875 × 3.1415926535     		Φ = -1.06611664755005
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33325733} λ = -0.33325733}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.06611664755005))-π/2
    2×atan(0.344343130093669)-π/2
    2×0.331626429918871-π/2
    0.663252859837743-1.57079632675     		φ = -0.90754347
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33325733} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.094239°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.90754347 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -51.998411°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14646 KachelY 21944 -0.33325733 -0.90754347 -19.094239 -51.998411
    Oben rechts KachelX + 1 14647 KachelY 21944 -0.33306558 -0.90754347 -19.083252 -51.998411
    Unten links KachelX 14646 KachelY + 1 21945 -0.33325733 -0.90766151 -19.094239 -52.005174
    Unten rechts KachelX + 1 14647 KachelY + 1 21945 -0.33306558 -0.90766151 -19.083252 -52.005174
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.90754347--0.90766151) × R
    0.00011803999999993 × 6371000     		dl = 752.032839999557m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.90754347--0.90766151) × R
    0.00011803999999993 × 6371000     		dr = 752.032839999557m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33325733--0.33306558) × cos(-0.90754347) × R
    0.000191749999999991 × 0.615683335324272 × 6371000     		do = 752.142928003005m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33325733--0.33306558) × cos(-0.90766151) × R
    0.000191749999999991 × 0.61559031626189 × 6371000     		du = 752.029292265401m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.90754347)-sin(-0.90766151))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.615683335324272-0.61559031626189)×R²
    abs(-0.33306558--0.33325733)×9.3019062382238e-05×R²
    0.000191749999999991×9.3019062382238e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.3019062382238e-05×40589641000000     		ar = 565593.453985199m²