Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14644 / 22380
↖ ↑ ↗
← S 54.851315°
W 19.116211°		 ← 703.30 m → S 54.851315°
W 19.105224°		 →
↑
703.23 m
↓
↑
703.23 m
↓
S 54.857640°
W 19.116211°		 ← 703.19 m →
494 542 m²		 S 54.857640°
W 19.105224°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14644 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22380 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.446914672851562 y=0.682998657226562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.446914672851562 × 215)
    floor (0.446914672851562 × 32768)
    floor (14644.5)     		tx = 14644
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.682998657226562 × 215)
    floor (0.682998657226562 × 32768)
    floor (22380.5)     		ty = 22380
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14644 / 22380 ti = "15/14644/22380"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14644/22380.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14644 ÷ 215
    14644 ÷ 32768     		x = 0.4468994140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22380 ÷ 215
    22380 ÷ 32768     		y = 0.6829833984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4468994140625 × 2 - 1) × π
    -0.106201171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.33364082
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6829833984375 × 2 - 1) × π
    -0.365966796875 × 3.1415926535     		Φ = -1.14971860048743
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33364082} λ = -0.33364082}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.14971860048743))-π/2
    2×atan(0.316725883349345)-π/2
    2×0.306730138241442-π/2
    0.613460276482884-1.57079632675     		φ = -0.95733605
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33364082} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.116211°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.95733605 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.851315°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14644 KachelY 22380 -0.33364082 -0.95733605 -19.116211 -54.851315
    Oben rechts KachelX + 1 14645 KachelY 22380 -0.33344907 -0.95733605 -19.105224 -54.851315
    Unten links KachelX 14644 KachelY + 1 22381 -0.33364082 -0.95744643 -19.116211 -54.857640
    Unten rechts KachelX + 1 14645 KachelY + 1 22381 -0.33344907 -0.95744643 -19.105224 -54.857640
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.95733605--0.95744643) × R
    0.000110379999999966 × 6371000     		dl = 703.23097999978m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.95733605--0.95744643) × R
    0.000110379999999966 × 6371000     		dr = 703.23097999978m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33364082--0.33344907) × cos(-0.95733605) × R
    0.000191749999999991 × 0.575700233841436 × 6371000     		do = 703.298001894842m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33364082--0.33344907) × cos(-0.95744643) × R
    0.000191749999999991 × 0.575609976931583 × 6371000     		du = 703.187740511181m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.95733605)-sin(-0.95744643))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.575700233841436-0.575609976931583)×R²
    abs(-0.33344907--0.33364082)×9.02569098534256e-05×R²
    0.000191749999999991×9.02569098534256e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.02569098534256e-05×40589641000000     		ar = 494542.17399568m²