Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 14643 / 22346
↖ ↑ ↗
← S 54.635697°
W 19.127197°		 ← 707.05 m → S 54.635697°
W 19.116211°		 →
↑
706.99 m
↓
↑
706.99 m
↓
S 54.642056°
W 19.127197°		 ← 706.94 m →
499 840 m²		 S 54.642056°
W 19.116211°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14643 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22346 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.446884155273438 y=0.681961059570312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.446884155273438 × 215)
    floor (0.446884155273438 × 32768)
    floor (14643.5)     		tx = 14643
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.681961059570312 × 215)
    floor (0.681961059570312 × 32768)
    floor (22346.5)     		ty = 22346
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14643 / 22346 ti = "15/14643/22346"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14643/22346.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14643 ÷ 215
    14643 ÷ 32768     		x = 0.446868896484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22346 ÷ 215
    22346 ÷ 32768     		y = 0.68194580078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.446868896484375 × 2 - 1) × π
    -0.10626220703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.33383257
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.68194580078125 × 2 - 1) × π
    -0.3638916015625 × 3.1415926535     		Φ = -1.1431991821391
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33383257} λ = -0.33383257}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.1431991821391))-π/2
    2×atan(0.318797497406543)-π/2
    2×0.308611759849999-π/2
    0.617223519699998-1.57079632675     		φ = -0.95357281
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33383257} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.127197°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.95357281 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.635697°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14643 KachelY 22346 -0.33383257 -0.95357281 -19.127197 -54.635697
    Oben rechts KachelX + 1 14644 KachelY 22346 -0.33364082 -0.95357281 -19.116211 -54.635697
    Unten links KachelX 14643 KachelY + 1 22347 -0.33383257 -0.95368378 -19.127197 -54.642056
    Unten rechts KachelX + 1 14644 KachelY + 1 22347 -0.33364082 -0.95368378 -19.116211 -54.642056
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.95357281--0.95368378) × R
    0.000110969999999933 × 6371000     		dl = 706.98986999957m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.95357281--0.95368378) × R
    0.000110969999999933 × 6371000     		dr = 706.98986999957m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33383257--0.33364082) × cos(-0.95357281) × R
    0.000191749999999991 × 0.578773204017074 × 6371000     		do = 707.05206287548m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33383257--0.33364082) × cos(-0.95368378) × R
    0.000191749999999991 × 0.578682705689048 × 6371000     		du = 706.941506565904m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.95357281)-sin(-0.95368378))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.578773204017074-0.578682705689048)×R²
    abs(-0.33364082--0.33383257)×9.04983280259897e-05×R²
    0.000191749999999991×9.04983280259897e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.04983280259897e-05×40589641000000     		ar = 499839.565432447m²