Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14640 / 21961
↖ ↑ ↗
← S 52.113252°
W 19.160156°		 ← 750.21 m → S 52.113252°
W 19.149170°		 →
↑
750.12 m
↓
↑
750.12 m
↓
S 52.119999°
W 19.160156°		 ← 750.10 m →
562 708 m²		 S 52.119999°
W 19.149170°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14640 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21961 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.446792602539062 y=0.670211791992188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.446792602539062 × 215)
    floor (0.446792602539062 × 32768)
    floor (14640.5)     		tx = 14640
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.670211791992188 × 215)
    floor (0.670211791992188 × 32768)
    floor (21961.5)     		ty = 21961
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14640 / 21961 ti = "15/14640/21961"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14640/21961.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14640 ÷ 215
    14640 ÷ 32768     		x = 0.44677734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21961 ÷ 215
    21961 ÷ 32768     		y = 0.670196533203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44677734375 × 2 - 1) × π
    -0.1064453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.33440781
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.670196533203125 × 2 - 1) × π
    -0.34039306640625 × 3.1415926535     		Φ = -1.06937635672421
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33440781} λ = -0.33440781}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.06937635672421))-π/2
    2×atan(0.343222499091313)-π/2
    2×0.330624243952632-π/2
    0.661248487905265-1.57079632675     		φ = -0.90954784
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33440781} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.160156°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.90954784 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -52.113252°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14640 KachelY 21961 -0.33440781 -0.90954784 -19.160156 -52.113252
    Oben rechts KachelX + 1 14641 KachelY 21961 -0.33421606 -0.90954784 -19.149170 -52.113252
    Unten links KachelX 14640 KachelY + 1 21962 -0.33440781 -0.90966558 -19.160156 -52.119999
    Unten rechts KachelX + 1 14641 KachelY + 1 21962 -0.33421606 -0.90966558 -19.149170 -52.119999
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.90954784--0.90966558) × R
    0.000117739999999977 × 6371000     		dl = 750.121539999855m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.90954784--0.90966558) × R
    0.000117739999999977 × 6371000     		dr = 750.121539999855m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33440781--0.33421606) × cos(-0.90954784) × R
    0.000191750000000046 × 0.614102668747837 × 6371000     		do = 750.211923672286m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33440781--0.33421606) × cos(-0.90966558) × R
    0.000191750000000046 × 0.614009741004857 × 6371000     		du = 750.098399494048m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.90954784)-sin(-0.90966558))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.614102668747837-0.614009741004857)×R²
    abs(-0.33421606--0.33440781)×9.29277429800868e-05×R²
    0.000191750000000046×9.29277429800868e-05×6371000²
    0.000191750000000046×9.29277429800868e-05×40589641000000     		ar = 562707.545695294m²