Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14640 / 21959
↖ ↑ ↗
← S 52.099757°
W 19.160156°		 ← 750.44 m → S 52.099757°
W 19.149170°		 →
↑
750.38 m
↓
↑
750.38 m
↓
S 52.106505°
W 19.160156°		 ← 750.33 m →
563 069 m²		 S 52.106505°
W 19.149170°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14640 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21959 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.446792602539062 y=0.670150756835938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.446792602539062 × 215)
    floor (0.446792602539062 × 32768)
    floor (14640.5)     		tx = 14640
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.670150756835938 × 215)
    floor (0.670150756835938 × 32768)
    floor (21959.5)     		ty = 21959
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14640 / 21959 ti = "15/14640/21959"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14640/21959.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14640 ÷ 215
    14640 ÷ 32768     		x = 0.44677734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21959 ÷ 215
    21959 ÷ 32768     		y = 0.670135498046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44677734375 × 2 - 1) × π
    -0.1064453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.33440781
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.670135498046875 × 2 - 1) × π
    -0.34027099609375 × 3.1415926535     		Φ = -1.06899286152725
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33440781} λ = -0.33440781}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.06899286152725))-π/2
    2×atan(0.34335414851305)-π/2
    2×0.330742014485241-π/2
    0.661484028970483-1.57079632675     		φ = -0.90931230
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33440781} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.160156°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.90931230 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -52.099757°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14640 KachelY 21959 -0.33440781 -0.90931230 -19.160156 -52.099757
    Oben rechts KachelX + 1 14641 KachelY 21959 -0.33421606 -0.90931230 -19.149170 -52.099757
    Unten links KachelX 14640 KachelY + 1 21960 -0.33440781 -0.90943008 -19.160156 -52.106505
    Unten rechts KachelX + 1 14641 KachelY + 1 21960 -0.33421606 -0.90943008 -19.149170 -52.106505
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.90931230--0.90943008) × R
    0.000117780000000067 × 6371000     		dl = 750.376380000429m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.90931230--0.90943008) × R
    0.000117780000000067 × 6371000     		dr = 750.376380000429m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33440781--0.33421606) × cos(-0.90931230) × R
    0.000191750000000046 × 0.614288546038022 × 6371000     		do = 750.43899866566m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33440781--0.33421606) × cos(-0.90943008) × R
    0.000191750000000046 × 0.614195603760768 × 6371000     		du = 750.325456731782m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.90931230)-sin(-0.90943008))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.614288546038022-0.614195603760768)×R²
    abs(-0.33421606--0.33440781)×9.29422772538713e-05×R²
    0.000191750000000046×9.29422772538713e-05×6371000²
    0.000191750000000046×9.29422772538713e-05×40589641000000     		ar = 563069.10028829m²