Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14637 / 22109
↖ ↑ ↗
← S 53.100621°
W 19.193115°		 ← 733.45 m → S 53.100621°
W 19.182129°		 →
↑
733.43 m
↓
↑
733.43 m
↓
S 53.107217°
W 19.193115°		 ← 733.34 m →
537 891 m²		 S 53.107217°
W 19.182129°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14637 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22109 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.446701049804688 y=0.674728393554688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.446701049804688 × 215)
    floor (0.446701049804688 × 32768)
    floor (14637.5)     		tx = 14637
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.674728393554688 × 215)
    floor (0.674728393554688 × 32768)
    floor (22109.5)     		ty = 22109
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14637 / 22109 ti = "15/14637/22109"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14637/22109.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14637 ÷ 215
    14637 ÷ 32768     		x = 0.446685791015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22109 ÷ 215
    22109 ÷ 32768     		y = 0.674713134765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.446685791015625 × 2 - 1) × π
    -0.10662841796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.33498305
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.674713134765625 × 2 - 1) × π
    -0.34942626953125 × 3.1415926535     		Φ = -1.09775500129929
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33498305} λ = -0.33498305}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.09775500129929))-π/2
    2×atan(0.333619218314891)-π/2
    2×0.3220078288091-π/2
    0.6440156576182-1.57079632675     		φ = -0.92678067
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33498305} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.193115°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.92678067 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -53.100621°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14637 KachelY 22109 -0.33498305 -0.92678067 -19.193115 -53.100621
    Oben rechts KachelX + 1 14638 KachelY 22109 -0.33479131 -0.92678067 -19.182129 -53.100621
    Unten links KachelX 14637 KachelY + 1 22110 -0.33498305 -0.92689579 -19.193115 -53.107217
    Unten rechts KachelX + 1 14638 KachelY + 1 22110 -0.33479131 -0.92689579 -19.182129 -53.107217
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.92678067--0.92689579) × R
    0.000115120000000024 × 6371000     		dl = 733.429520000154m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.92678067--0.92689579) × R
    0.000115120000000024 × 6371000     		dr = 733.429520000154m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33498305--0.33479131) × cos(-0.92678067) × R
    0.000191739999999996 × 0.600411558955234 × 6371000     		do = 733.448074352965m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33498305--0.33479131) × cos(-0.92689579) × R
    0.000191739999999996 × 0.600319494529975 × 6371000     		du = 733.335610702965m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.92678067)-sin(-0.92689579))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.600411558955234-0.600319494529975)×R²
    abs(-0.33479131--0.33498305)×9.20644252584424e-05×R²
    0.000191739999999996×9.20644252584424e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.20644252584424e-05×40589641000000     		ar = 537891.227631195m²