Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14637 / 22073
↖ ↑ ↗
← S 52.862497°
W 19.193115°		 ← 737.50 m → S 52.862497°
W 19.182129°		 →
↑
737.51 m
↓
↑
737.51 m
↓
S 52.869130°
W 19.193115°		 ← 737.39 m →
543 871 m²		 S 52.869130°
W 19.182129°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14637 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22073 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.446701049804688 y=0.673629760742188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.446701049804688 × 215)
    floor (0.446701049804688 × 32768)
    floor (14637.5)     		tx = 14637
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.673629760742188 × 215)
    floor (0.673629760742188 × 32768)
    floor (22073.5)     		ty = 22073
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14637 / 22073 ti = "15/14637/22073"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14637/22073.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14637 ÷ 215
    14637 ÷ 32768     		x = 0.446685791015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22073 ÷ 215
    22073 ÷ 32768     		y = 0.673614501953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.446685791015625 × 2 - 1) × π
    -0.10662841796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.33498305
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.673614501953125 × 2 - 1) × π
    -0.34722900390625 × 3.1415926535     		Φ = -1.090852087754
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33498305} λ = -0.33498305}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.090852087754))-π/2
    2×atan(0.335930129770682)-π/2
    2×0.324085847657326-π/2
    0.648171695314651-1.57079632675     		φ = -0.92262463
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33498305} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.193115°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.92262463 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -52.862497°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14637 KachelY 22073 -0.33498305 -0.92262463 -19.193115 -52.862497
    Oben rechts KachelX + 1 14638 KachelY 22073 -0.33479131 -0.92262463 -19.182129 -52.862497
    Unten links KachelX 14637 KachelY + 1 22074 -0.33498305 -0.92274039 -19.193115 -52.869130
    Unten rechts KachelX + 1 14638 KachelY + 1 22074 -0.33479131 -0.92274039 -19.182129 -52.869130
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.92262463--0.92274039) × R
    0.00011576000000002 × 6371000     		dl = 737.506960000129m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.92262463--0.92274039) × R
    0.00011576000000002 × 6371000     		dr = 737.506960000129m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33498305--0.33479131) × cos(-0.92262463) × R
    0.000191739999999996 × 0.603729912510712 × 6371000     		do = 737.50169388941m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33498305--0.33479131) × cos(-0.92274039) × R
    0.000191739999999996 × 0.603637625875086 × 6371000     		du = 737.38895879266m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.92262463)-sin(-0.92274039))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.603729912510712-0.603637625875086)×R²
    abs(-0.33479131--0.33498305)×9.22866356257712e-05×R²
    0.000191739999999996×9.22866356257712e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.22866356257712e-05×40589641000000     		ar = 543871.061403502m²