Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 14635 / 22093
↖ ↑ ↗
← S 52.994950°
W 19.215088°		 ← 735.29 m → S 52.994950°
W 19.204101°		 →
↑
735.21 m
↓
↑
735.21 m
↓
S 53.001562°
W 19.215088°		 ← 735.17 m →
540 551 m²		 S 53.001562°
W 19.204101°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14635 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22093 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.446640014648438 y=0.674240112304688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.446640014648438 × 215)
    floor (0.446640014648438 × 32768)
    floor (14635.5)     		tx = 14635
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.674240112304688 × 215)
    floor (0.674240112304688 × 32768)
    floor (22093.5)     		ty = 22093
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14635 / 22093 ti = "15/14635/22093"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14635/22093.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14635 ÷ 215
    14635 ÷ 32768     		x = 0.446624755859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22093 ÷ 215
    22093 ÷ 32768     		y = 0.674224853515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.446624755859375 × 2 - 1) × π
    -0.10675048828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.33536655
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.674224853515625 × 2 - 1) × π
    -0.34844970703125 × 3.1415926535     		Φ = -1.0946870397236
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33536655} λ = -0.33536655}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.0946870397236))-π/2
    2×atan(0.33464432094127)-π/2
    2×0.322929978833447-π/2
    0.645859957666894-1.57079632675     		φ = -0.92493637
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33536655} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.215088°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.92493637 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -52.994950°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14635 KachelY 22093 -0.33536655 -0.92493637 -19.215088 -52.994950
    Oben rechts KachelX + 1 14636 KachelY 22093 -0.33517480 -0.92493637 -19.204101 -52.994950
    Unten links KachelX 14635 KachelY + 1 22094 -0.33536655 -0.92505177 -19.215088 -53.001562
    Unten rechts KachelX + 1 14636 KachelY + 1 22094 -0.33517480 -0.92505177 -19.204101 -53.001562
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.92493637--0.92505177) × R
    0.000115400000000099 × 6371000     		dl = 735.213400000629m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.92493637--0.92505177) × R
    0.000115400000000099 × 6371000     		dr = 735.213400000629m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33536655--0.33517480) × cos(-0.92493637) × R
    0.000191749999999991 × 0.601885407402894 × 6371000     		do = 735.286837685579m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33536655--0.33517480) × cos(-0.92505177) × R
    0.000191749999999991 × 0.601793246978722 × 6371000     		du = 735.174250894114m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.92493637)-sin(-0.92505177))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.601885407402894-0.601793246978722)×R²
    abs(-0.33517480--0.33536655)×9.21604241718166e-05×R²
    0.000191749999999991×9.21604241718166e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.21604241718166e-05×40589641000000     		ar = 540551.348851191m²