Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14633 / 22323
↖ ↑ ↗
← S 54.489186°
W 19.237060°		 ← 709.56 m → S 54.489186°
W 19.226074°		 →
↑
709.54 m
↓
↑
709.54 m
↓
S 54.495567°
W 19.237060°		 ← 709.45 m →
503 421 m²		 S 54.495567°
W 19.226074°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14633 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22323 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.446578979492188 y=0.681259155273438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.446578979492188 × 215)
    floor (0.446578979492188 × 32768)
    floor (14633.5)     		tx = 14633
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.681259155273438 × 215)
    floor (0.681259155273438 × 32768)
    floor (22323.5)     		ty = 22323
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14633 / 22323 ti = "15/14633/22323"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14633/22323.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14633 ÷ 215
    14633 ÷ 32768     		x = 0.446563720703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22323 ÷ 215
    22323 ÷ 32768     		y = 0.681243896484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.446563720703125 × 2 - 1) × π
    -0.10687255859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.33575004
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.681243896484375 × 2 - 1) × π
    -0.36248779296875 × 3.1415926535     		Φ = -1.13878898737405
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33575004} λ = -0.33575004}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.13878898737405))-π/2
    2×atan(0.320206561299983)-π/2
    2×0.309890307489614-π/2
    0.619780614979228-1.57079632675     		φ = -0.95101571
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33575004} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.237060°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.95101571 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.489186°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14633 KachelY 22323 -0.33575004 -0.95101571 -19.237060 -54.489186
    Oben rechts KachelX + 1 14634 KachelY 22323 -0.33555830 -0.95101571 -19.226074 -54.489186
    Unten links KachelX 14633 KachelY + 1 22324 -0.33575004 -0.95112708 -19.237060 -54.495567
    Unten rechts KachelX + 1 14634 KachelY + 1 22324 -0.33555830 -0.95112708 -19.226074 -54.495567
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.95101571--0.95112708) × R
    0.000111370000000055 × 6371000     		dl = 709.538270000351m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.95101571--0.95112708) × R
    0.000111370000000055 × 6371000     		dr = 709.538270000351m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33575004--0.33555830) × cos(-0.95101571) × R
    0.000191740000000051 × 0.580856595292032 × 6371000     		do = 709.560209056616m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33575004--0.33555830) × cos(-0.95112708) × R
    0.000191740000000051 × 0.580765935852158 × 6371000     		du = 709.449461702395m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.95101571)-sin(-0.95112708))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.580856595292032-0.580765935852158)×R²
    abs(-0.33555830--0.33575004)×9.06594398745186e-05×R²
    0.000191740000000051×9.06594398745186e-05×6371000²
    0.000191740000000051×9.06594398745186e-05×40589641000000     		ar = 503420.833972405m²