Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14625 / 22022
↖ ↑ ↗
← S 52.522906°
W 19.324951°		 ← 743.30 m → S 52.522906°
W 19.313965°		 →
↑
743.24 m
↓
↑
743.24 m
↓
S 52.529590°
W 19.324951°		 ← 743.19 m →
552 408 m²		 S 52.529590°
W 19.313965°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14625 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22022 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.446334838867188 y=0.672073364257812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.446334838867188 × 215)
    floor (0.446334838867188 × 32768)
    floor (14625.5)     		tx = 14625
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.672073364257812 × 215)
    floor (0.672073364257812 × 32768)
    floor (22022.5)     		ty = 22022
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14625 / 22022 ti = "15/14625/22022"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14625/22022.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14625 ÷ 215
    14625 ÷ 32768     		x = 0.446319580078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22022 ÷ 215
    22022 ÷ 32768     		y = 0.67205810546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.446319580078125 × 2 - 1) × π
    -0.10736083984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.33728403
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.67205810546875 × 2 - 1) × π
    -0.3441162109375 × 3.1415926535     		Φ = -1.08107296023151
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33728403} λ = -0.33728403}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.08107296023151))-π/2
    2×atan(0.339231348559827)-π/2
    2×0.327049342720278-π/2
    0.654098685440557-1.57079632675     		φ = -0.91669764
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33728403} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.324951°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.91669764 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -52.522906°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14625 KachelY 22022 -0.33728403 -0.91669764 -19.324951 -52.522906
    Oben rechts KachelX + 1 14626 KachelY 22022 -0.33709228 -0.91669764 -19.313965 -52.522906
    Unten links KachelX 14625 KachelY + 1 22023 -0.33728403 -0.91681430 -19.324951 -52.529590
    Unten rechts KachelX + 1 14626 KachelY + 1 22023 -0.33709228 -0.91681430 -19.313965 -52.529590
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.91669764--0.91681430) × R
    0.000116659999999991 × 6371000     		dl = 743.240859999941m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.91669764--0.91681430) × R
    0.000116659999999991 × 6371000     		dr = 743.240859999941m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33728403--0.33709228) × cos(-0.91669764) × R
    0.000191749999999991 × 0.608444211426357 × 6371000     		do = 743.299330113699m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33728403--0.33709228) × cos(-0.91681430) × R
    0.000191749999999991 × 0.608351626301146 × 6371000     		du = 743.186224490776m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.91669764)-sin(-0.91681430))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.608444211426357-0.608351626301146)×R²
    abs(-0.33709228--0.33728403)×9.2585125210376e-05×R²
    0.000191749999999991×9.2585125210376e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.2585125210376e-05×40589641000000     		ar = 552408.401617136m²