Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14623 / 22031
↖ ↑ ↗
← S 52.583026°
W 19.346924°		 ← 742.28 m → S 52.583026°
W 19.335937°		 →
↑
742.22 m
↓
↑
742.22 m
↓
S 52.589701°
W 19.346924°		 ← 742.17 m →
550 895 m²		 S 52.589701°
W 19.335937°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14623 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22031 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.446273803710938 y=0.672348022460938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.446273803710938 × 215)
    floor (0.446273803710938 × 32768)
    floor (14623.5)     		tx = 14623
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.672348022460938 × 215)
    floor (0.672348022460938 × 32768)
    floor (22031.5)     		ty = 22031
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14623 / 22031 ti = "15/14623/22031"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14623/22031.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14623 ÷ 215
    14623 ÷ 32768     		x = 0.446258544921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22031 ÷ 215
    22031 ÷ 32768     		y = 0.672332763671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.446258544921875 × 2 - 1) × π
    -0.10748291015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.33766752
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.672332763671875 × 2 - 1) × π
    -0.34466552734375 × 3.1415926535     		Φ = -1.08279868861783
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33766752} λ = -0.33766752}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.08279868861783))-π/2
    2×atan(0.338646432240599)-π/2
    2×0.326524697435328-π/2
    0.653049394870656-1.57079632675     		φ = -0.91774693
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33766752} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.346924°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.91774693 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -52.583026°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14623 KachelY 22031 -0.33766752 -0.91774693 -19.346924 -52.583026
    Oben rechts KachelX + 1 14624 KachelY 22031 -0.33747577 -0.91774693 -19.335937 -52.583026
    Unten links KachelX 14623 KachelY + 1 22032 -0.33766752 -0.91786343 -19.346924 -52.589701
    Unten rechts KachelX + 1 14624 KachelY + 1 22032 -0.33747577 -0.91786343 -19.335937 -52.589701
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.91774693--0.91786343) × R
    0.000116500000000075 × 6371000     		dl = 742.221500000477m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.91774693--0.91786343) × R
    0.000116500000000075 × 6371000     		dr = 742.221500000477m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33766752--0.33747577) × cos(-0.91774693) × R
    0.000191749999999991 × 0.607611163599749 × 6371000     		do = 742.281646191588m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33766752--0.33747577) × cos(-0.91786343) × R
    0.000191749999999991 × 0.607518631140303 × 6371000     		du = 742.16860490723m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.91774693)-sin(-0.91786343))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.607611163599749-0.607518631140303)×R²
    abs(-0.33747577--0.33766752)×9.25324594456267e-05×R²
    0.000191749999999991×9.25324594456267e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.25324594456267e-05×40589641000000     		ar = 550895.446646002m²