Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14622 / 22036
↖ ↑ ↗
← S 52.616390°
W 19.357910°		 ← 741.72 m → S 52.616390°
W 19.346924°		 →
↑
741.65 m
↓
↑
741.65 m
↓
S 52.623060°
W 19.357910°		 ← 741.60 m →
550 051 m²		 S 52.623060°
W 19.346924°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14622 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22036 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.446243286132812 y=0.672500610351562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.446243286132812 × 215)
    floor (0.446243286132812 × 32768)
    floor (14622.5)     		tx = 14622
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.672500610351562 × 215)
    floor (0.672500610351562 × 32768)
    floor (22036.5)     		ty = 22036
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14622 / 22036 ti = "15/14622/22036"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14622/22036.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14622 ÷ 215
    14622 ÷ 32768     		x = 0.44622802734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22036 ÷ 215
    22036 ÷ 32768     		y = 0.6724853515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44622802734375 × 2 - 1) × π
    -0.1075439453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.33785927
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6724853515625 × 2 - 1) × π
    -0.344970703125 × 3.1415926535     		Φ = -1.08375742661023
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33785927} λ = -0.33785927}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.08375742661023))-π/2
    2×atan(0.338321914628558)-π/2
    2×0.326233538366438-π/2
    0.652467076732875-1.57079632675     		φ = -0.91832925
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33785927} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.357910°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.91832925 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -52.616390°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14622 KachelY 22036 -0.33785927 -0.91832925 -19.357910 -52.616390
    Oben rechts KachelX + 1 14623 KachelY 22036 -0.33766752 -0.91832925 -19.346924 -52.616390
    Unten links KachelX 14622 KachelY + 1 22037 -0.33785927 -0.91844566 -19.357910 -52.623060
    Unten rechts KachelX + 1 14623 KachelY + 1 22037 -0.33766752 -0.91844566 -19.346924 -52.623060
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.91832925--0.91844566) × R
    0.000116410000000067 × 6371000     		dl = 741.648110000425m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.91832925--0.91844566) × R
    0.000116410000000067 × 6371000     		dr = 741.648110000425m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33785927--0.33766752) × cos(-0.91832925) × R
    0.000191749999999991 × 0.607148561887045 × 6371000     		do = 741.716513782231m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33785927--0.33766752) × cos(-0.91844566) × R
    0.000191749999999991 × 0.60705605974523 × 6371000     		du = 741.603509535082m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.91832925)-sin(-0.91844566))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.607148561887045-0.60705605974523)×R²
    abs(-0.33766752--0.33785927)×9.25021418142213e-05×R²
    0.000191749999999991×9.25021418142213e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.25021418142213e-05×40589641000000     		ar = 550050.746530116m²