Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14622 / 22002
↖ ↑ ↗
← S 52.389011°
W 19.357910°		 ← 745.56 m → S 52.389011°
W 19.346924°		 →
↑
745.53 m
↓
↑
745.53 m
↓
S 52.395716°
W 19.357910°		 ← 745.45 m →
555 801 m²		 S 52.395716°
W 19.346924°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14622 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22002 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.446243286132812 y=0.671463012695312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.446243286132812 × 215)
    floor (0.446243286132812 × 32768)
    floor (14622.5)     		tx = 14622
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.671463012695312 × 215)
    floor (0.671463012695312 × 32768)
    floor (22002.5)     		ty = 22002
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14622 / 22002 ti = "15/14622/22002"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14622/22002.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14622 ÷ 215
    14622 ÷ 32768     		x = 0.44622802734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22002 ÷ 215
    22002 ÷ 32768     		y = 0.67144775390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44622802734375 × 2 - 1) × π
    -0.1075439453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.33785927
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.67144775390625 × 2 - 1) × π
    -0.3428955078125 × 3.1415926535     		Φ = -1.0772380082619
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33785927} λ = -0.33785927}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.0772380082619))-π/2
    2×atan(0.340534782193378)-π/2
    2×0.328217795956981-π/2
    0.656435591913962-1.57079632675     		φ = -0.91436073
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33785927} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.357910°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.91436073 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -52.389011°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14622 KachelY 22002 -0.33785927 -0.91436073 -19.357910 -52.389011
    Oben rechts KachelX + 1 14623 KachelY 22002 -0.33766752 -0.91436073 -19.346924 -52.389011
    Unten links KachelX 14622 KachelY + 1 22003 -0.33785927 -0.91447775 -19.357910 -52.395716
    Unten rechts KachelX + 1 14623 KachelY + 1 22003 -0.33766752 -0.91447775 -19.346924 -52.395716
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.91436073--0.91447775) × R
    0.000117020000000023 × 6371000     		dl = 745.534420000148m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.91436073--0.91447775) × R
    0.000117020000000023 × 6371000     		dr = 745.534420000148m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33785927--0.33766752) × cos(-0.91436073) × R
    0.000191749999999991 × 0.610297112282479 × 6371000     		do = 745.562906525896m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33785927--0.33766752) × cos(-0.91447775) × R
    0.000191749999999991 × 0.610204408065948 × 6371000     		du = 745.449655416341m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.91436073)-sin(-0.91447775))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.610297112282479-0.610204408065948)×R²
    abs(-0.33766752--0.33785927)×9.27042165309588e-05×R²
    0.000191749999999991×9.27042165309588e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.27042165309588e-05×40589641000000     		ar = 555800.593424697m²