Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14621 / 21727
↖ ↑ ↗
← S 50.506440°
W 19.368897°		 ← 776.95 m → S 50.506440°
W 19.357910°		 →
↑
776.88 m
↓
↑
776.88 m
↓
S 50.513427°
W 19.368897°		 ← 776.84 m →
603 554 m²		 S 50.513427°
W 19.357910°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14621 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21727 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.446212768554688 y=0.663070678710938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.446212768554688 × 215)
    floor (0.446212768554688 × 32768)
    floor (14621.5)     		tx = 14621
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.663070678710938 × 215)
    floor (0.663070678710938 × 32768)
    floor (21727.5)     		ty = 21727
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14621 / 21727 ti = "15/14621/21727"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14621/21727.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14621 ÷ 215
    14621 ÷ 32768     		x = 0.446197509765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21727 ÷ 215
    21727 ÷ 32768     		y = 0.663055419921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.446197509765625 × 2 - 1) × π
    -0.10760498046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.33805102
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.663055419921875 × 2 - 1) × π
    -0.32611083984375 × 3.1415926535     		Φ = -1.02450741867984
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33805102} λ = -0.33805102}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.02450741867984))-π/2
    2×atan(0.358973245378232)-π/2
    2×0.344646329141434-π/2
    0.689292658282867-1.57079632675     		φ = -0.88150367
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33805102} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.368897°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.88150367 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.506440°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14621 KachelY 21727 -0.33805102 -0.88150367 -19.368897 -50.506440
    Oben rechts KachelX + 1 14622 KachelY 21727 -0.33785927 -0.88150367 -19.357910 -50.506440
    Unten links KachelX 14621 KachelY + 1 21728 -0.33805102 -0.88162561 -19.368897 -50.513427
    Unten rechts KachelX + 1 14622 KachelY + 1 21728 -0.33785927 -0.88162561 -19.357910 -50.513427
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.88150367--0.88162561) × R
    0.000121939999999987 × 6371000     		dl = 776.879739999918m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.88150367--0.88162561) × R
    0.000121939999999987 × 6371000     		dr = 776.879739999918m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33805102--0.33785927) × cos(-0.88150367) × R
    0.000191749999999991 × 0.635991487398567 × 6371000     		do = 776.952163671932m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33805102--0.33785927) × cos(-0.88162561) × R
    0.000191749999999991 × 0.635897382051354 × 6371000     		du = 776.837200886141m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.88150367)-sin(-0.88162561))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.635991487398567-0.635897382051354)×R²
    abs(-0.33785927--0.33805102)×9.41053472136577e-05×R²
    0.000191749999999991×9.41053472136577e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.41053472136577e-05×40589641000000     		ar = 603553.739524562m²