Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14620 / 22039
↖ ↑ ↗
← S 52.636397°
W 19.379883°		 ← 741.34 m → S 52.636397°
W 19.368897°		 →
↑
741.33 m
↓
↑
741.33 m
↓
S 52.643064°
W 19.379883°		 ← 741.23 m →
549 535 m²		 S 52.643064°
W 19.368897°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14620 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22039 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.446182250976562 y=0.672592163085938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.446182250976562 × 215)
    floor (0.446182250976562 × 32768)
    floor (14620.5)     		tx = 14620
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.672592163085938 × 215)
    floor (0.672592163085938 × 32768)
    floor (22039.5)     		ty = 22039
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14620 / 22039 ti = "15/14620/22039"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14620/22039.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14620 ÷ 215
    14620 ÷ 32768     		x = 0.4461669921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22039 ÷ 215
    22039 ÷ 32768     		y = 0.672576904296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4461669921875 × 2 - 1) × π
    -0.107666015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.33824276
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.672576904296875 × 2 - 1) × π
    -0.34515380859375 × 3.1415926535     		Φ = -1.08433266940567
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33824276} λ = -0.33824276}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.08433266940567))-π/2
    2×atan(0.33812735334998)-π/2
    2×0.326058949355725-π/2
    0.652117898711451-1.57079632675     		φ = -0.91867843
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33824276} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.379883°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.91867843 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -52.636397°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14620 KachelY 22039 -0.33824276 -0.91867843 -19.379883 -52.636397
    Oben rechts KachelX + 1 14621 KachelY 22039 -0.33805102 -0.91867843 -19.368897 -52.636397
    Unten links KachelX 14620 KachelY + 1 22040 -0.33824276 -0.91879479 -19.379883 -52.643064
    Unten rechts KachelX + 1 14621 KachelY + 1 22040 -0.33805102 -0.91879479 -19.368897 -52.643064
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.91867843--0.91879479) × R
    0.000116359999999927 × 6371000     		dl = 741.329559999532m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.91867843--0.91879479) × R
    0.000116359999999927 × 6371000     		dr = 741.329559999532m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33824276--0.33805102) × cos(-0.91867843) × R
    0.000191739999999996 × 0.606871070523697 × 6371000     		do = 741.338855685347m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33824276--0.33805102) × cos(-0.91879479) × R
    0.000191739999999996 × 0.606778583453547 × 6371000     		du = 741.225875742685m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.91867843)-sin(-0.91879479))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.606871070523697-0.606778583453547)×R²
    abs(-0.33805102--0.33824276)×9.24870701497493e-05×R²
    0.000191739999999996×9.24870701497493e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.24870701497493e-05×40589641000000     		ar = 549534.530630765m²