Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14618 / 22040
↖ ↑ ↗
← S 52.643064°
W 19.401856°		 ← 741.26 m → S 52.643064°
W 19.390869°		 →
↑
741.14 m
↓
↑
741.14 m
↓
S 52.649729°
W 19.401856°		 ← 741.15 m →
549 338 m²		 S 52.649729°
W 19.390869°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14618 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22040 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.446121215820312 y=0.672622680664062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.446121215820312 × 215)
    floor (0.446121215820312 × 32768)
    floor (14618.5)     		tx = 14618
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.672622680664062 × 215)
    floor (0.672622680664062 × 32768)
    floor (22040.5)     		ty = 22040
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14618 / 22040 ti = "15/14618/22040"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14618/22040.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14618 ÷ 215
    14618 ÷ 32768     		x = 0.44610595703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22040 ÷ 215
    22040 ÷ 32768     		y = 0.672607421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44610595703125 × 2 - 1) × π
    -0.1077880859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.33862626
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.672607421875 × 2 - 1) × π
    -0.34521484375 × 3.1415926535     		Φ = -1.08452441700415
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33862626} λ = -0.33862626}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.08452441700415))-π/2
    2×atan(0.338062524457586)-π/2
    2×0.326000770753883-π/2
    0.652001541507766-1.57079632675     		φ = -0.91879479
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33862626} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.401856°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.91879479 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -52.643064°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14618 KachelY 22040 -0.33862626 -0.91879479 -19.401856 -52.643064
    Oben rechts KachelX + 1 14619 KachelY 22040 -0.33843451 -0.91879479 -19.390869 -52.643064
    Unten links KachelX 14618 KachelY + 1 22041 -0.33862626 -0.91891112 -19.401856 -52.649729
    Unten rechts KachelX + 1 14619 KachelY + 1 22041 -0.33843451 -0.91891112 -19.390869 -52.649729
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.91879479--0.91891112) × R
    0.000116329999999998 × 6371000     		dl = 741.138429999986m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.91879479--0.91891112) × R
    0.000116329999999998 × 6371000     		dr = 741.138429999986m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33862626--0.33843451) × cos(-0.91879479) × R
    0.000191749999999991 × 0.606778583453547 × 6371000     		do = 741.264533606217m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33862626--0.33843451) × cos(-0.91891112) × R
    0.000191749999999991 × 0.606686112016072 × 6371000     		du = 741.151566868694m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.91879479)-sin(-0.91891112))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.606778583453547-0.606686112016072)×R²
    abs(-0.33843451--0.33862626)×9.24714374744839e-05×R²
    0.000191749999999991×9.24714374744839e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.24714374744839e-05×40589641000000     		ar = 549337.771275434m²