Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14618 / 21995
↖ ↑ ↗
← S 52.342052°
W 19.401856°		 ← 746.36 m → S 52.342052°
W 19.390869°		 →
↑
746.30 m
↓
↑
746.30 m
↓
S 52.348763°
W 19.401856°		 ← 746.24 m →
556 962 m²		 S 52.348763°
W 19.390869°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14618 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21995 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.446121215820312 y=0.671249389648438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.446121215820312 × 215)
    floor (0.446121215820312 × 32768)
    floor (14618.5)     		tx = 14618
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.671249389648438 × 215)
    floor (0.671249389648438 × 32768)
    floor (21995.5)     		ty = 21995
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14618 / 21995 ti = "15/14618/21995"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14618/21995.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14618 ÷ 215
    14618 ÷ 32768     		x = 0.44610595703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21995 ÷ 215
    21995 ÷ 32768     		y = 0.671234130859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44610595703125 × 2 - 1) × π
    -0.1077880859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.33862626
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.671234130859375 × 2 - 1) × π
    -0.34246826171875 × 3.1415926535     		Φ = -1.07589577507254
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33862626} λ = -0.33862626}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.07589577507254))-π/2
    2×atan(0.340992166169478)-π/2
    2×0.328627594254915-π/2
    0.65725518850983-1.57079632675     		φ = -0.91354114
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33862626} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.401856°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.91354114 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -52.342052°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14618 KachelY 21995 -0.33862626 -0.91354114 -19.401856 -52.342052
    Oben rechts KachelX + 1 14619 KachelY 21995 -0.33843451 -0.91354114 -19.390869 -52.342052
    Unten links KachelX 14618 KachelY + 1 21996 -0.33862626 -0.91365828 -19.401856 -52.348763
    Unten rechts KachelX + 1 14619 KachelY + 1 21996 -0.33843451 -0.91365828 -19.390869 -52.348763
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.91354114--0.91365828) × R
    0.000117140000000071 × 6371000     		dl = 746.298940000453m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.91354114--0.91365828) × R
    0.000117140000000071 × 6371000     		dr = 746.298940000453m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33862626--0.33843451) × cos(-0.91354114) × R
    0.000191749999999991 × 0.610946163977666 × 6371000     		do = 746.355813552016m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33862626--0.33843451) × cos(-0.91365828) × R
    0.000191749999999991 × 0.610853423311212 × 6371000     		du = 746.242517913804m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.91354114)-sin(-0.91365828))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.610946163977666-0.610853423311212)×R²
    abs(-0.33843451--0.33862626)×9.27406664543717e-05×R²
    0.000191749999999991×9.27406664543717e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.27406664543717e-05×40589641000000     		ar = 556962.2769467m²