Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14615 / 21895
↖ ↑ ↗
← S 51.665742°
W 19.434814°		 ← 757.72 m → S 51.665742°
W 19.423828°		 →
↑
757.64 m
↓
↑
757.64 m
↓
S 51.672555°
W 19.434814°		 ← 757.61 m →
574 035 m²		 S 51.672555°
W 19.423828°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14615 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21895 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.446029663085938 y=0.668197631835938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.446029663085938 × 215)
    floor (0.446029663085938 × 32768)
    floor (14615.5)     		tx = 14615
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.668197631835938 × 215)
    floor (0.668197631835938 × 32768)
    floor (21895.5)     		ty = 21895
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14615 / 21895 ti = "15/14615/21895"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14615/21895.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14615 ÷ 215
    14615 ÷ 32768     		x = 0.446014404296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21895 ÷ 215
    21895 ÷ 32768     		y = 0.668182373046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.446014404296875 × 2 - 1) × π
    -0.10797119140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.33920150
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.668182373046875 × 2 - 1) × π
    -0.33636474609375 × 3.1415926535     		Φ = -1.05672101522452
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33920150} λ = -0.33920150}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.05672101522452))-π/2
    2×atan(0.347593698196479)-π/2
    2×0.334529514353351-π/2
    0.669059028706702-1.57079632675     		φ = -0.90173730
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33920150} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.434814°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.90173730 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -51.665742°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14615 KachelY 21895 -0.33920150 -0.90173730 -19.434814 -51.665742
    Oben rechts KachelX + 1 14616 KachelY 21895 -0.33900975 -0.90173730 -19.423828 -51.665742
    Unten links KachelX 14615 KachelY + 1 21896 -0.33920150 -0.90185622 -19.434814 -51.672555
    Unten rechts KachelX + 1 14616 KachelY + 1 21896 -0.33900975 -0.90185622 -19.423828 -51.672555
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.90173730--0.90185622) × R
    0.000118920000000022 × 6371000     		dl = 757.639320000142m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.90173730--0.90185622) × R
    0.000118920000000022 × 6371000     		dr = 757.639320000142m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33920150--0.33900975) × cos(-0.90173730) × R
    0.000191749999999991 × 0.62024815704026 × 6371000     		do = 757.719493380508m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33920150--0.33900975) × cos(-0.90185622) × R
    0.000191749999999991 × 0.620154871134822 × 6371000     		du = 757.605531656954m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.90173730)-sin(-0.90185622))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.62024815704026-0.620154871134822)×R²
    abs(-0.33900975--0.33920150)×9.32859054375568e-05×R²
    0.000191749999999991×9.32859054375568e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.32859054375568e-05×40589641000000     		ar = 574034.911451021m²