Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 14614 / 22050
↖ ↑ ↗
← S 52.709675°
W 19.445801°		 ← 740.14 m → S 52.709675°
W 19.434814°		 →
↑
740.06 m
↓
↑
740.06 m
↓
S 52.716331°
W 19.445801°		 ← 740.02 m →
547 699 m²		 S 52.716331°
W 19.434814°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14614 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22050 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445999145507812 y=0.672927856445312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445999145507812 × 215)
    floor (0.445999145507812 × 32768)
    floor (14614.5)     		tx = 14614
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.672927856445312 × 215)
    floor (0.672927856445312 × 32768)
    floor (22050.5)     		ty = 22050
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14614 / 22050 ti = "15/14614/22050"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14614/22050.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14614 ÷ 215
    14614 ÷ 32768     		x = 0.44598388671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22050 ÷ 215
    22050 ÷ 32768     		y = 0.67291259765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44598388671875 × 2 - 1) × π
    -0.1080322265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.33939325
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.67291259765625 × 2 - 1) × π
    -0.3458251953125 × 3.1415926535     		Φ = -1.08644189298895
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33939325} λ = -0.33939325}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.08644189298895))-π/2
    2×atan(0.337414918768177)-π/2
    2×0.325419472304802-π/2
    0.650838944609605-1.57079632675     		φ = -0.91995738
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33939325} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.445801°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.91995738 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -52.709675°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14614 KachelY 22050 -0.33939325 -0.91995738 -19.445801 -52.709675
    Oben rechts KachelX + 1 14615 KachelY 22050 -0.33920150 -0.91995738 -19.434814 -52.709675
    Unten links KachelX 14614 KachelY + 1 22051 -0.33939325 -0.92007354 -19.445801 -52.716331
    Unten rechts KachelX + 1 14615 KachelY + 1 22051 -0.33920150 -0.92007354 -19.434814 -52.716331
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.91995738--0.92007354) × R
    0.000116159999999921 × 6371000     		dl = 740.055359999495m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.91995738--0.92007354) × R
    0.000116159999999921 × 6371000     		dr = 740.055359999495m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33939325--0.33920150) × cos(-0.91995738) × R
    0.000191749999999991 × 0.605854064634273 × 6371000     		do = 740.135105129228m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33939325--0.33920150) × cos(-0.92007354) × R
    0.000191749999999991 × 0.605761646462201 × 6371000     		du = 740.022203462811m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.91995738)-sin(-0.92007354))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.605854064634273-0.605761646462201)×R²
    abs(-0.33920150--0.33939325)×9.24181720726169e-05×R²
    0.000191749999999991×9.24181720726169e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.24181720726169e-05×40589641000000     		ar = 547699.175548938m²