Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 14614 / 22013
↖ ↑ ↗
← S 52.462703°
W 19.445801°		 ← 744.32 m → S 52.462703°
W 19.434814°		 →
↑
744.26 m
↓
↑
744.26 m
↓
S 52.469397°
W 19.445801°		 ← 744.20 m →
553 924 m²		 S 52.469397°
W 19.434814°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14614 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22013 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445999145507812 y=0.671798706054688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445999145507812 × 215)
    floor (0.445999145507812 × 32768)
    floor (14614.5)     		tx = 14614
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.671798706054688 × 215)
    floor (0.671798706054688 × 32768)
    floor (22013.5)     		ty = 22013
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14614 / 22013 ti = "15/14614/22013"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14614/22013.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14614 ÷ 215
    14614 ÷ 32768     		x = 0.44598388671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22013 ÷ 215
    22013 ÷ 32768     		y = 0.671783447265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44598388671875 × 2 - 1) × π
    -0.1080322265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.33939325
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.671783447265625 × 2 - 1) × π
    -0.34356689453125 × 3.1415926535     		Φ = -1.07934723184518
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33939325} λ = -0.33939325}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.07934723184518))-π/2
    2×atan(0.339817275157234)-π/2
    2×0.327574707015918-π/2
    0.655149414031837-1.57079632675     		φ = -0.91564691
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33939325} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.445801°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.91564691 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -52.462703°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14614 KachelY 22013 -0.33939325 -0.91564691 -19.445801 -52.462703
    Oben rechts KachelX + 1 14615 KachelY 22013 -0.33920150 -0.91564691 -19.434814 -52.462703
    Unten links KachelX 14614 KachelY + 1 22014 -0.33939325 -0.91576373 -19.445801 -52.469397
    Unten rechts KachelX + 1 14615 KachelY + 1 22014 -0.33920150 -0.91576373 -19.434814 -52.469397
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.91564691--0.91576373) × R
    0.000116820000000017 × 6371000     		dl = 744.260220000111m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.91564691--0.91576373) × R
    0.000116820000000017 × 6371000     		dr = 744.260220000111m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33939325--0.33920150) × cos(-0.91564691) × R
    0.000191749999999991 × 0.609277731208735 × 6371000     		do = 744.317590595504m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33939325--0.33920150) × cos(-0.91576373) × R
    0.000191749999999991 × 0.609185093826434 × 6371000     		du = 744.204421133268m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.91564691)-sin(-0.91576373))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.609277731208735-0.609185093826434)×R²
    abs(-0.33920150--0.33939325)×9.26373823004756e-05×R²
    0.000191749999999991×9.26373823004756e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.26373823004756e-05×40589641000000     		ar = 553923.860591679m²