Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14613 / 22034
↖ ↑ ↗
← S 52.603048°
W 19.456787°		 ← 741.94 m → S 52.603048°
W 19.445801°		 →
↑
741.84 m
↓
↑
741.84 m
↓
S 52.609719°
W 19.456787°		 ← 741.83 m →
550 360 m²		 S 52.609719°
W 19.445801°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14613 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22034 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445968627929688 y=0.672439575195312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445968627929688 × 215)
    floor (0.445968627929688 × 32768)
    floor (14613.5)     		tx = 14613
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.672439575195312 × 215)
    floor (0.672439575195312 × 32768)
    floor (22034.5)     		ty = 22034
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14613 / 22034 ti = "15/14613/22034"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14613/22034.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14613 ÷ 215
    14613 ÷ 32768     		x = 0.445953369140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22034 ÷ 215
    22034 ÷ 32768     		y = 0.67242431640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.445953369140625 × 2 - 1) × π
    -0.10809326171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.33958500
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.67242431640625 × 2 - 1) × π
    -0.3448486328125 × 3.1415926535     		Φ = -1.08337393141327
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33958500} λ = -0.33958500}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.08337393141327))-π/2
    2×atan(0.338451684339285)-π/2
    2×0.326349975383529-π/2
    0.652699950767058-1.57079632675     		φ = -0.91809638
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33958500} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.456787°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.91809638 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -52.603048°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14613 KachelY 22034 -0.33958500 -0.91809638 -19.456787 -52.603048
    Oben rechts KachelX + 1 14614 KachelY 22034 -0.33939325 -0.91809638 -19.445801 -52.603048
    Unten links KachelX 14613 KachelY + 1 22035 -0.33958500 -0.91821282 -19.456787 -52.609719
    Unten rechts KachelX + 1 14614 KachelY + 1 22035 -0.33939325 -0.91821282 -19.445801 -52.609719
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.91809638--0.91821282) × R
    0.000116439999999995 × 6371000     		dl = 741.839239999971m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.91809638--0.91821282) × R
    0.000116439999999995 × 6371000     		dr = 741.839239999971m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33958500--0.33939325) × cos(-0.91809638) × R
    0.000191750000000046 × 0.607333581208831 × 6371000     		do = 741.942540647949m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33958500--0.33939325) × cos(-0.91821282) × R
    0.000191750000000046 × 0.607241071691566 × 6371000     		du = 741.82952739066m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.91809638)-sin(-0.91821282))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.607333581208831-0.607241071691566)×R²
    abs(-0.33939325--0.33958500)×9.25095172648049e-05×R²
    0.000191750000000046×9.25095172648049e-05×6371000²
    0.000191750000000046×9.25095172648049e-05×40589641000000     		ar = 550360.172264867m²